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diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index a3237fe..cf271e3 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -316,10 +316,14 @@ J_{-\alpha}(x) y_2(x). \end{align*} +% +% Ganzzahlige Ordnung +% +\subsubsection{Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung} Man beachte, dass diese Definition für beliebige ganzzahlige $\alpha$ funktioniert. Ist $\alpha=-n<0$, $n\in\mathbb{N}$, dann hat der Nenner Pole -an den Stellen $k=0,1,\dots,n-$. +an den Stellen $k=0,1,\dots,n-1$. Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder \begin{align*} J_{-n}(x) @@ -340,6 +344,9 @@ J_{n}(x). Insbesondere unterscheiden sich $J_n(x)$ und $J_{-n}(x)$ nur durch ein Vorzeichen. +% +% Erzeugende Funktione +% \subsubsection{Erzeugende Funktion} \begin{figure} \centering @@ -754,6 +761,6 @@ BJ_{\frac12}(x) \biggl(\frac12\biggr)^2 J_{\frac12}(x). \end{align*} Dies zeigt, dass $J_{\frac12}(x)$ tatsächlich eine Eigenfunktion -des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2 = \frac14$. +des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2 = \frac14$ ist. Analog kann man die Lösung $y_2(x)$ für $-\frac12$ verifizieren. |