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diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex new file mode 100644 index 0000000..1cba88a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -0,0 +1,170 @@ +% +% hypergeometrisch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Hypergeometrische Differentialgleichung +\label{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}} +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F1(a,b;c;x)$ wurde in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +als Potenzreihe mit sehr speziellen Koeffizienten, die sich aus +Pochhammer-Symbolen. +Es stellt sich aber heraus, dass man sie auch als Lösung einer +gewöhnlichen Differentialgleichung bekommen kann, die bereits +Euler studiert hat. + +\subsection{Die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +\label{buch:differentialgleichung:subsection:euler-hypergeometrisch}} +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)$ ist eine +Lösung der {\em Eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung} +(zu unterscheiden von der Eulerschen Differentialgleichung, die sich +immer auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten +reduzieren lässt) +\begin{equation} +x(1-x) \frac{d^2y}{dx^2} + (c-(a+b+1)x)\frac{dy}{dx} - ab y = 0 +\label{buch:differentialgleichungen:hypergeo:eulerdgl} +\end{equation} +Wir prüfen dies nach, indem wir die Definition der hypergeometrischen +Funktion +\begin{align*} +y(x) +&= +\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^k}{k!} +\intertext{mit den Ableitungen} +y'(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} +\\ +y''(x) +&= +\sum_{k=2}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^{k-2}}{(k-2)!} +\end{align*} +einsetzen. +Die Gleichung, die sich ergibt, ist +\begin{align*} +0 +&= +x(1-x) +\sum_{k=2}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^{k-2}}{(k-2)!} ++ +(c-(a+b+1)x) +\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} +-ab +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=2}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^{k-1}}{(k-2)!} +- +\sum_{k=2}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{(k-2)!} ++ +c\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} +\\ +&\qquad +-(a+b+1) +\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{(k-1)!} +-ab +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}}\frac{x^k}{(k-1)!} +- +\sum_{k=2}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{(k-2)!} ++ +c\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}}\frac{x^k}{k!} +\\ +&\qquad +-(a+b+1) +\sum_{k=1}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{(k-1)!} +-ab +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{x^k}{k!}. +\end{align*} +Zum konstanten Koeffizienten für $k=0$ tragen nur die dritte und letzte +Summe bei, dies sind die Terme +\[ +c\frac{(a)_1(b)_1}{(c)_1}-ab\frac{(a)_0(b)_0}{(c)_0} += +c\frac{ab}{c}-ab\frac{1\cdot 1}{1} += +0. +\] +Für den linearen Term $k=1$ kommen je ein Term aus der ersten aund vierten +Summe hinzu, dies ergibt +\begin{align*} +&\phantom{\mathstrut=\mathstrut} +\frac{(a)_2(b)_2}{(c)_2} ++c\frac{(a)_2(b)_2}{(c)_2} +-(a+b+1)\frac{(a)_1(b)_1}{(c)_1} +-ab\frac{(a)_1(b)_1}{(c)_1} +\\ +&= +\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)} +(1+c) +-(ab+a+b+1) +\frac{ab}{c} +\\ +&= +\frac{a(a+1)b(b+1)}{c} +- +(a+1)(b+1)\frac{ab}{c} +=0. +\end{align*} +Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir für $k\ge 2$ +\begin{align*} +0 +&= +\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} \frac1{(k-1)!} +- +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac1{(k-2)!} ++ +c\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} \frac{1}{k!} +\\ +&\qquad +-(a+b+1)\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{1}{(k-1)!} +-ab \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{1}{k!} +\\ +&= +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} +\frac{1}{(k-2)!} +\biggl( +\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{k-1} +-1 ++ +c\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{(k-1)k} +\\ +&\qquad +-(a+b+1)\frac1{k-1} +-ab \frac1{(k-1)k} +\biggr) +\\ +&= +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}} +\frac{1}{k!} +\biggl( +(a+k)(b+k)k - (c+k)(k-1)k + (a+k)(b+k) - (a+b+1)(c+k)k-ab(c+k) +\biggr) +\end{align*} + + + + + + + |