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diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index feafacb..6d30129 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -5,4 +5,237 @@ % \section{Potenzreihenmethode \label{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}} +Die Potenzreihenmethode versucht die Lösung einer gewöhnlichen +Differentialgleichung als Potenzreihe um die Anfangsbedingung zu +entwickeln. +Wir gehen in diesem Abschnitt von einer Differentialgleichung der +Form +\begin{equation} +a_n(x)y^{(n)}(x) ++ +a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) ++ +\dots ++ +a_1(x)y'(x) ++ +a_0(x)y(x) += +f(x) +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:potenzreihendgl} +\end{equation} +mit der Randbedingung $y(0)=y_0$ aus. +Schon im einfachsten Fall einer homogenen Differentialgleichung erster +Ordnung ergibt sich die Beziehung +\[ +a_1(x) y'(x) = a_0(x)y(x), +\] +wobei wir uns $y(x)$ und damit auch $y'(x)$ als Potenzreihe vorstellen. +Insbesondere ist +\[ +\frac{a_1(x)}{a_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)} +\] +ein Quotient von Potenzreihen, den man natürlich wieder als +Potenzreihe schreiben kann. +Da es nur auf den Quotienten ankommt, kann man sich auf den Fall +beschränken, dass die Koeffizienten Potenzreihen sind. +Tatsächlich gilt der folgende sehr viel allgemeinere Satz von +Cauchy und Kowalevskaja: + +\begin{satz}[Cauchy-Kowalevskaja] +Eine partielle Differentialgleichung der Ordnung $k$ für eine +Funktion $u(x_1,\dots,x_n,t)=u(x,t)$ +in expliziter Form +\[ +\frac{\partial^k}{\partial t^k} += +G\biggl(x,t, +\frac{\partial^j\partial^\alpha}{\partial t^j\,\partial x^k} +\biggr) +\quad\text{mit $j<k$ und $|\alpha|+j\le k$} +\] +mit einer Funktion $G$, die analytisch ist in allen Variablen +und der Randbedingung +\[ +\frac{\partial j}{\partial t^j}u(x,0) = \varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$} +\] +mit analytischen Funktion $\varphi_j$ hat eine in einer Umgebung von +$t=0$ eindeutige analytische Lösung. +\end{satz} + +Im folgenden werden wir daher weitere einschränkende Annahmen über +die Koeffizienten $a_k(x)$ machen. + +\subsection{Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich} + + + +\subsection{Die Newtonsche Reihe} +Wir lösen die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode. +Wir setzen daher für die Lösung die Potenzreihe an +\[ +y(t) += +a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + \dots + a_kt^k + \dots +\] +Die Ableitung ist +\[ +\dot{y}(t) += +a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + \dots + ka_kt^{k-1} + \dots +\] +Einsetzen in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +liefert +\begin{align*} +(1+t) +( +a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + \dots + ka_kt^{k-1} + \dots +) +&= +\alpha +( +a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + \dots + a_kt^k + \dots +) +\\ +a_1 ++(a_1+2a_2)t ++(2a_2+3a_3)t^2 ++(3a_3+4a_4)t^3 ++\dots +&= +\alpha a_0 + \alpha a_1t + \alpha a_2t^2 + \alpha a_3t^3 + \dots +\end{align*} +Der Koeffizientenvergleich ergbiet die Gleichungen +\begin{align} +a_1&=\alpha a_0 +\notag +\\ +a_1+2a_2 &= \alpha a_1 &&\Rightarrow& 2a_2 &= (\alpha-1) a_1 +\notag +\\ +2a_2+3a_3 &= \alpha a_2&&\Rightarrow& 3a_3 &= (\alpha-2) a_2 +\notag +\\ +3a_3+4a_4 &= \alpha a_3&&\Rightarrow& 4a_4 &= (\alpha-3) a_3 +\notag +\\ +4a_4+5a_5 &= \alpha a_4&&\Rightarrow& 5a_5 &= (\alpha-4) a_4 +\notag +\\ +&\vdots +\notag +\\ +&&&& \llap{$(k+1)a_{k+1}$} &= (\alpha-k) a_k +&&\Rightarrow& +a_{k+1} = \frac{\alpha-k}{k+1}a_k. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +\end{align} +Die +Rekursionsformel~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +gilt auch im Fall $k=0$. +Aus der Anfangsbedingung folgt $a_0=1$. +Durch wiederholte Anwendung der +Rekursionsformel~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +erhalten wir jetzt die Koeffizienten +\begin{align*} +a_0&=1 +\\ +a_1&=\alpha +\\ +a_2&=\frac{\alpha(\alpha-1)}{1\cdot 2} +\\ +a_3&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{1\cdot 2\cdot 3} +\\ +a_4&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\\ +&\;\vdots +\\ +a_k&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}. +\end{align*} +Für ganzzahliges $\alpha$ ist $a_k$ der Binomialkoeffizient +\[ +a_k=\binom{\alpha}{k} +\] +und $a_k=0$ für $k>\alpha$. +Für nicht ganzzahliges $\alpha$ sind alle Koeffizienten $a_k\ne 0$. + +Die Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +ist daher die Reihe +\begin{equation} +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}\, t^k. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreihe} +\end{equation} +Für ganzzahliges $\alpha$ wird daraus die binomische Formel +\[ +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}\, t^k += +\sum_{k=0}^\alpha \binom{\alpha}{k} t^k. +\] + +% +% Lösung als hypergeometrische Riehe +% +\subsubsection{Lösung als hypergeometrische Funktion} +Die Newtonreihe verwendet ein absteigendes Produkt im Zähler. +Man kann sie aber in eine Form bringen, die besser zu den aufsteigenden +Produkten bringen, die wir im Zusammenhang mit der Gamma-Funktion +angetroffen und als Pochhammer-Symbole formalisiert haben. + +Eine hypergeometrische Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass +die Quotienten aufeinanderfolgender Koeffizienten der Reihe rationale +Funktionen von $k$ sind. +Der Quotient ist +nach~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{\alpha-k}{k+1}. +\] +Der Nenner wird nie $0$, aber das Zählerpolynom hat genau die Nullstelle +$-\alpha$. +Die Newtonsche Reihe muss sich daher als Wert der hypergeometrischen +Funktion $\mathstrut_1F_0$ schreiben lassen. + +Das Produkt im Zähler von $a_k$ hat $k$ Faktoren, indem wir jeden Faktor +mit $-1$ multiplizieren, erhalten wir +\begin{align*} +\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1) +&= +(-\alpha)(-\alpha+1)(-\alpha+2)\dots(-\alpha+k-1) (-1)^k +\\ +&= +(-\alpha)_k (-1)^k. +\end{align*} +Indem wir den Faktor $-1$ in der Variablen absorbieren, erhalten +wir die Darstellung +\[ +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +(-\alpha)_k\frac{(-t)^k}{k!}. +\] +Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt. + +\begin{satz} +Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert +\[ +(1-t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty (-\alpha)_k \frac{t^k}{k!} += +\mathstrut_1F_0(-\alpha;t) +\] +der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_1F_0$. +\end{satz} + |