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@@ -44,6 +44,7 @@ Tatsächlich gilt der folgende sehr viel allgemeinere Satz von
 Cauchy und Kowalevskaja:
 
 \begin{satz}[Cauchy-Kowalevskaja]
+\index{Satz!von Cauchy-Kowalevskaja}%
 Eine partielle Differentialgleichung der Ordnung $k$ für eine
 Funktion $u(x_1,\dots,x_n,t)=u(x,t)$ 
 in expliziter Form
@@ -176,7 +177,8 @@ b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k
 %
 % Die Newtonsche Reihe
 %
-\subsection{Die Newtonsche Reihe}
+\subsection{Die Newtonsche Reihe
+\label{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}}
 Wir lösen die
 Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1}
 mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode.
@@ -289,7 +291,7 @@ Für ganzzahliges $\alpha$ wird daraus die binomische Formel
 \]
 
 %
-% Lösung als hypergeometrische Riehe
+% Lösung als hypergeometrische Reihe
 %
 \subsubsection{Lösung als hypergeometrische Funktion}
 Die Newtonreihe verwendet ein absteigendes Produkt im Zähler.
@@ -333,6 +335,8 @@ wir die Darstellung
 Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Newtonsche Reihe}%
+\label{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
 Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert
 \[
 (1-t)^\alpha
@@ -370,7 +374,7 @@ entwickeln lassen.
 \subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht}
 Für die Differentialgleichung
 \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
-funktioniert die Potenzreihenmethod oft nicht.
+funktioniert die Potenzreihenmethode oft nicht.
 Sind die Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ zum Beispiel Konstante 
 $p(x)=p_0$ und $q(x)=q_0$, dann führt der Potenzreihenansatz
 \[
@@ -418,25 +422,43 @@ $a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$.
 Für Differentialgleichungen der Art
 \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
 ist also ein anderer Ansatz nötig.
-Die Schwierigkeit bestand darin, dass die Gleichungen für die einzelnen
-Koeffizienten $a_k$ voneinander unabhängig waren.
-Mit einem zusätzlichen Potenzfaktor $x^\varrho$ mit nicht
-notwendigerweise ganzzahligen Wert kann die nötige Flexibilität
-erreicht werden.
-Wir verwenden daher den Ansatz
-\[
+Ursache für das Versagen des Potenzreihenansatzes ist, dass die
+Koeffizienten der Differentialgleichung bei $x=0$ eine
+Singularität haben.
+Ist ist daher damit zu rechnen, dass auch die Lösung $y(x)$ an dieser
+Stelle singuläres Verhalten zeigen wird.
+Die Terme einer Potenzreihe um den Punkt $x=0$ sind nicht singulär,
+können eine solche Singularität also nicht wiedergeben.
+Der neue Ansatz sollte ähnlich einfach sein, aber auch gewisse ``einfache''
+Singularitäten darstellen können.
+Die Potenzfunktionen $x^\varrho$ mit $\varrho<1$ erfüllen beide
+Anforderungen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:differentialgleichungen:def:verallpotenzreihe}
+Eine {\em verallgemeinerte Potenzreihe} ist eine Funktion der Form
+\begin{equation}
 y(x)
 =
 x^\varrho \sum_{k=0}^\infty a_kx^k
 =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^{\varrho+k}
-\]
-und versuchen nicht nur die Koeffizienten $a_k$ sondern auch den
-Exponenten $\varrho$ zu bestimmen.
-Durch Modifikation von $\varrho$ können wir immer erreichen, dass
-$a_0\ne 0$ ist.
-
-Die Ableitungen von $y(x)$ mit der zugehörigen Potenz von x  sind
+\label{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe}
+\end{equation}
+mit $a_0\ne 0$.
+\end{definition}
+
+Die Forderung $a_0\ne 0$ kann nötigenfalls durch Modifikation des
+Exponenten $\varrho$ immer erreicht werden.
+
+Wir verwenden also eine verallgemeinerte Potenzreihe der Form
+\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe}
+als Lösungsansatz für die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}.
+Wir berechnen die Ableitungen von $y(x)$ und um sie in der
+Differentialgleichung einzusetzen, versehen wir sie auch gleich mit den
+benötigten Potenzen von $x$.
+So erhalten wir
 \begin{align*}
 xy'(x)
 &=
@@ -451,8 +473,9 @@ x^2y''(x)
 \sum_{k=0}^\infty
 (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}.
 \end{align*}
-Diese Ableitungen setzen wir jetzt in die Differentialgleichung ein, 
-die dadurch zu
+Diese Ausdrücke setzen wir jetzt in die 
+Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
+ein, die dadurch zu
 \begin{equation}
 \sum_{k=0}^\infty  (\varrho+k)(\varrho+k-1) a_k x^{\varrho+k}
 +
@@ -487,6 +510,7 @@ Ausgeschrieben geben die einzelnen Terme
 \bigl((\varrho +2)a_2p_0 + (\varrho+1)a_1p_1 + \varrho a_0 p_2\bigr) x^{\varrho+2}
 +
 \dots
+\label{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
 \\
 &+
 q_0a_0x^{\varrho}
@@ -683,18 +707,17 @@ Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie}
 dargestellt werden.
 
 \item
-Fall 3: $\varrho_1-\varrho-2$ ist eine positive ganze Zahl.
+Fall 3: $\varrho_1-\varrho_2$ ist eine positive ganze Zahl.
 In diesem Fall ist im Allgemeinen nur eine Lösung in Form einer
 verallgemeinerten Potenzreihe möglich.
 Auch hier müssen Techniken der Funktionentheorie aus
 Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie}
 verwendet werden, um eine zweite Lösung zu finden.
 
-\end{itemize}
-
 Wenn $\varrho_1-\varrho_2$ eine negative ganze Zahl ist, kann man die
 beiden Nullstellen vertauschen.
-Es folgt dann, dass es eine  
+\end{itemize}
+