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diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc index 5e44d69..b72a275 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc @@ -12,4 +12,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/050-differential/uebungsaufgaben/501.tex \ chapters/050-differential/uebungsaufgaben/502.tex \ chapters/050-differential/uebungsaufgaben/503.tex \ + chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex \ chapters/050-differential/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex index c0a57d8..9a844dc 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex @@ -106,7 +106,299 @@ direkt als Potenzreihenlösung der Differentialgleichung zu finden. \subsection{Exponentialfunktion und ihre Varianten \label{buch:differentialgleichungen:subsection:exponentialfunktion}} +In Kapitel~\ref{buch:chapter:exponential} wurde die Exponentialfunktion +auf algebraische Weise definiert, die Berechnung wurde ermöglicht +mit Hilfe von Grenzwerten und Potenzreihen. +Dabei blieb die Ableitung der Exponentialfunktion aussen vor. +Die Exponentialfunktion lässt sich aber natürlich auch über +Differentialgleichungen charakterisieren. + +\subsubsection{Die Ableitung der Exponentialfunktion} +Aus der Potenzreihendarstellung +\[ +\exp(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} +\] +folgt sofort, dass die Ableitung +\[ +\frac{d}{dx}\exp(x) += +\frac{d}{dx} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{x^k}{k!} += +\sum_{k=1}^\infty \frac{kx^{k-1}}{k!} += +\sum_{k=1}^\infty{x^{k-1}}{(k-1)!} += +\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!} += +\exp(x), +\] +wobei $l=k-1$ gesetzt wurde. +Die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung. + +\subsubsection{Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten} +Mit der Exponentialfunktion lassen sich beliebige homogene lineare +Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lösen. +Sei die Differentialgleichung +\[ +y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_2y'' + a_1y' + a_0y = 0 +\] +gegeben. +Mit dem Ansatz $y(x)=e^{\lambda x}$ ergibt sich die Gleichung +\[ +\lambda^n e^{\lambda x} ++ +a_{n-1}\lambda^{n-1} e^{\lambda x} ++ +\dots ++ +a_2\lambda^2e^{\lambda x} ++ +a_1\lambda e^{\lambda x} ++ +a_0e^{\lambda x} += +(\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0) +e^{\lambda x} += +0. +\] +Da $e^{\lambda x}\ne 0$ ist, kann $y(x)$ nur dann eine Lösung sein, wenn +$\lambda$ eine Nullstelle des {\em charakteristischen Polynoms} +\[ +p(\lambda) += +\lambda^n ++ +a_{n-1}\lambda^{n-1} ++ +\dots ++ +a_2\lambda^2 ++ +a_1\lambda ++ +a_0 +\] +ist. + +\subsubsection{Ableitungen der trigonometrische Funktionen} +Die Drehmatrix +\[ +D_{\omega t} += +\begin{pmatrix} +\cos\omega t&-\sin\omega t\\ +\sin\omega t& \cos\omega t +\end{pmatrix} +\] +bschreibt eine Drehung der Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit +$\omega$. +Der Punkt $(r,0)$ beschreibt unter dieser Drehung eine Kreisbahn +parametrisiert durch +\[ +t \mapsto \gamma(t)=(r\cos\omega t,r\sin\omega t). +\] +Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ ist natürlich +\[ +\vec{v}(0) += +\begin{pmatrix} +0\\ +r\omega +\end{pmatrix}, +\] +zu einer späteren Zeit $t$ ist er +\[ +\vec{v}(t) += +D_{\omega t} \vec{v}(0) += +\begin{pmatrix} +\cos\omega t&-\sin\omega t\\ +\sin\omega t& \cos\omega t +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0\\r\omega +\end{pmatrix} += +r +\begin{pmatrix} +-\omega\sin\omega t\\ + \omega\cos\omega t +\end{pmatrix} +\] +Gleichzeitig ist $\vec{v}(t)$ natürlich auch die Ableitung von $\gamma(t)$, +also +\[ +\dot{\gamma}(t) += +r +\frac{d}{dt} +\begin{pmatrix} +\cos\omega t\\ +\sin\omega t +\end{pmatrix} += +r +\begin{pmatrix} +-\omega\sin\omega t\\ + \omega\cos\omega t +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} \cos\omega t &= -\omega \sin\omega t\\ +\frac{d}{dt} \sin\omega t &= \phantom{-} \omega \cos\omega t +\end{aligned} +\right. +\] +Dies bedeutet, dass die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} \sin t&=\phantom{-}\cos t\\ +\frac{d}{dt} \cos t&=-\sin t +\end{aligned} +\label{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen} +\end{equation} + +\subsubsection{Differentialgleichung für trigonometrische Funktionen} +Aus den Ableitungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen} +folgt, dass die trigonometrischen Funktionen $\sin t $ und $\cos t$ +Lösungen der Differentialgleichung $y''=-y$ sind. +Das zugehörige charakteristische Polynom ist +\[ +\lambda^2+1=0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda^2=-1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda=\pm i. +\] +Daraus ergeben sich die Lösungen +\[ +y_{\pm}(t) = e^{\pm i t}. +\] +Da eine Differentialgleichung zweiter Ordnung nur zwei linear unabhängige +Lösungen haben kann, müssen sich $\sin t$ und $\cos t$ durch +$e^{\pm it}$ ausdrücken lassen. + +Die Kosinus-Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass $\cos 0=1$ und +$\cos' 0=0$ ist. +Gesucht ist also eine Lösung der Linearkombination der Lösungen +$y_{\pm}$ der Differentialgleichung mit diesen Anfangswerten. +Zunächst halten wir fest, dass $y_{\pm}(0)=e^{\pm i\cdot 0}=1$. +Für die Ableitungen von $y^{\pm it}$ gilt +\[ +\frac{d}{dt} += +e^{\pm i t} += +\pm ie^{\pm i t} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dt}y_{\pm}(0) = \pm i. +\] +Die Linearkombination $Ay_+(t)+By_-(t)$ hat die Anfangswerte +\begin{align*} +Ay_+(0)+By_-(0)&=A+B\\ +Ay'_+(0)+By'_-(0)&=Ai-Bi. +\end{align*} +Damit die Linearkombination $\cos t=Ay_+(t)+By_-(t)$ ist, müssen +$A$ und $B$ Lösungen des Gleichungssystems +\[ +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&1\\ +iA&-&iB&=&0 +\end{linsys} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&1\\ + A&-& B&=&0 +\end{linsys} +\] +Die Summe und Differenz der beiden Gleichungen führt auf +\[ +\begin{aligned} +2A&=1\\ +2B&=1 +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{aligned} +A=&\textstyle\frac12\\ +B=&\textstyle\frac12 +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\cos t = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}. +\] + +Andererseits hat die Sinus-Funktion die Anfangswerte $\sin 0=0$ und +$\sin' 0=1$, dies führt auf das Gleichungssystem +\[ +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&0\\ +iA&-&iB&=&1 +\end{linsys} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&0\\ + A&-& B&=&\frac{1}i +\end{linsys} +\] +Diesemal führen +Summe und Differenz der beiden Gleichungen auf +\[ +\begin{aligned} +2A&=\frac{1}i\\ +2B&=-\frac{1}i +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{aligned} +A=&\textstyle\phantom{-}\frac1{2i}\\ +B=&\textstyle{-\frac1{2i}} +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\sin t = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}. +\] + +\subsubsection{Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$} +Aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion kann man jetzt auch +Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$ ableiten. +Zunächst ist +\begin{align*} +y_+(t) +&= +1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \frac{it^5}{5!} +- \frac{t^6}{6!} - \frac{it^7}{7!} + \dots +\\ +y_+(t) +&= +1 - it - \frac{t^2}{2!} + \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{it^5}{5!} +- \frac{t^6}{6!} + \frac{it^7}{7!} + \dots +\intertext{Die trigonometrischen Funktionen können daraus linear kombiniert +werden, zum Beispiel ist die Kosinus-Funktion} +\cos t += +\frac{y_+(t)+y_-(t)}{2} +&= +1-\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} -\frac{t^6}{6!}+\dots += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{t^{2k}}{(2k)!}. +\intertext{Auf die gleiche Art findet man für die Sinus-Funktion} +\sin t += +\frac{y_+(t)-y_-(t)}{2i} +&= +t-\frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{t!} + \dots += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}. +\end{align*} + +\subsubsection{Hyperbolische Funktionen} + + + + -\subsubsection{Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten} -\subsubsection{Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten} diff --git a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex index a3ffbfe..0742bac 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex @@ -69,6 +69,7 @@ die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt. \aufgabetoplevel{chapters/050-differential/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} +\uebungsaufgabe{504} \uebungsaufgabe{501} \uebungsaufgabe{502} \uebungsaufgabe{503} diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index cee75de..945a435 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -867,7 +867,7 @@ Dies ist die früher definierte hypergeometrische Differentialgleichung. % % % -\subsubsection{Hypereometrische Funktionen von $x^2$ und $x^3$} +\subsubsection{Hypergeometrische Funktionen von $x^2$ und $x^3$} Die hypergeometrischen Funktionen $w(z)$ als Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichungen sind Potenzreihen, in denen kein Koeffizient verschwindet, sofern die Lösung nicht ein Polynom ist. diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex new file mode 100644 index 0000000..47cf2dc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +Lösen Sie die Differentialgleichung $y''+y=0$ der trigonometrischen +Funktionen mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes. +Finden Sie Lösungen $s(t)$ mit $s(0)=0$ und $s'(0)=1$ und +$c(t)$ mit $c(0)=1$ und $c'(0)=0$. + +\begin{loesung} +Die Ableitungen des Potenzreihenansatzes +\begin{align*} +y(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +\intertext{hat die Ableitungen} +y'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1} +& +y''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2} += +\sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2)a_{k+2}x^k +\end{align*} +Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich +\[ +y''(x) + y(x) += +\sum_{k=0}^\infty a_kx^k ++ +\sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2)a_{k+2}x^k += +\sum_{k=0}^\infty \bigl(a_k + (k+1)(k+2)a_{k+2}\bigr)x^k. +\] +Koeffizientenvergleich ergibt die Rekursionsformel +\[ +a_{k+2} = -\frac{1}{(k+1)(k+2)}a_k +\] +für die Koeffizienten $a_k$. +Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ sind bestimmt durch die Anfangsbedingungen +festgelegt. + +Für die Funktion $s(t)$ ist $a_0=s(0)=0$ und $s'(0)=a_1=1$, daraus ergeben sich +die Koeffizienten +\begin{align*} +a_0&=0\\ +a_1&=1\\ +a_2&=-\frac{1}{1\cdot 2}a_0=0\\ +a_3&=-\frac{1}{2\cdot 3}a_1=-\frac{1}{3!}\\ +a_4&=-\frac{1}{3\cdot 4}a_2=0\\ +a_5&=-\frac{1}{4\cdot 5}a_1 = \frac{1}{3!\cdot4\cdot 5}=\frac{1}{5!}\\ + &\vdots +\end{align*} +also +\[ +s(t) = 1 - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \dots += +\sin t. +\] + +Für die Funktion $c(t)$ ist $a_0=c(0)=1$ und $a_1=c'(0)=0$, daraus ergeben +sich die Koeffizienten +\begin{align*} +a_0&=1\\ +a_1&=0\\ +a_2&=-\frac{1}{1\cdot 2}a_1 = -\frac{1}{2!}\\ +a_3&=-\frac{1}{2\cdot 3}a_2 = 0\\ +a_4&=-\frac{1}{3\cdot 4}a_3 = \frac{1}{2!\cdot 3 \cdot }=\frac{1}{4!}\\ +a_5&=-\frac{1}{4\cdot 5}a_4 = 0\\ +a_6&=-\frac{1}{5\cdot 6}a_5 = -\frac{1}{4!\cdot 5\cdot 6} = -\frac{1}{6!} \\ + &\vdots +\end{align*} +und damit +\[ +c(t) += +1-\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \dots += +\cos t. +\qedhere +\] +\end{loesung} + + + |