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diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 383c360..ac509ba 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -18,6 +18,9 @@ die sich durch bekannte Funktionen ausdrücken lassen, es ist also nötig, eine neue Familie von speziellen Funktionen zu definieren, die Bessel-Funktionen. +% +% Besselsche Differentialgleichung +% \subsection{Die Besselsche Differentialgleichung} % XXX Wo taucht diese Gleichung auf Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung @@ -25,16 +28,22 @@ Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2-\alpha^2)y = 0 \label{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} \end{equation} +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% +\index{Besselsche Differentialgleichung}% zweiter Ordnung für eine auf dem Interval $[0,\infty)$ definierte Funktion $y(x)$. Der Parameter $\alpha$ ist eine beliebige komplexe Zahl $\alpha\in \mathbb{C}$, die Lösungsfunktionen hängen daher von $\alpha$ ab. +% +% Eigenwertproblem +% \subsubsection{Eigenwertproblem} Die Besselsche Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator \index{Bessel-Operator}% +\index{Operator!Bessel-}% \begin{equation} B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2 \label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} @@ -46,12 +55,15 @@ erfüllt \[ By = -x^2y''+xy+x^2y +x^2y''+xy'+x^2y =\alpha^2 y, \] ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2$. +% +% Indexgleichung +% \subsubsection{Indexgleichung} Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Art~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} mit @@ -117,9 +129,11 @@ Nur eine Lösung kann man finden, wenn \] ist. - - -\subsection{Bessel-Funktionen erster Art} +% +% Bessel-Funktionen erster Art +% +\subsection{Bessel-Funktionen erster Art +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart}} Für $\alpha \ge 0$ gibt es immer mindestens eine Lösung der Besselgleichung als verallgemeinerte Potenzreihe mit $\varrho=\alpha$. Die Funktion $q(x)=x^2-\alpha^2$ ist ein Polynom, die einzigen @@ -138,6 +152,9 @@ Da $F(\varrho+1)\ne 0$ ist, folgt dass $a_1=0$ sein muss. % Fall n=1 gesondert behandeln +% +% Der allgemeine Fall +% \subsubsection{Der allgemeine Fall} Für die höheren Potenzen $n>1$ wird die Rekursionsformel für die Koeffizienten $a_n$ der verallgemeinerten Potenzreihe @@ -201,10 +218,11 @@ x^\varrho\biggl( x^\varrho \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\varrho+1)_k} \frac{(-x^2/4)}{k!} = +x^\varrho +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;\varrho+1;-\frac{x^2}{4}\biggr) \end{align*} -Falls also $\alpha$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\frac12$ ist, finden -wir zwei Lösungsfunktionen +Wir finden also zwei Lösungsfunktionen \begin{align} y_1(x) %J_\alpha(x) @@ -214,8 +232,10 @@ x^{\alpha\phantom{-}} \frac{1}{(\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +x^\alpha +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr), -\label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} +\label{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:erste} \\ y_2(x) %J_{-\alpha}(x) @@ -223,32 +243,50 @@ y_2(x) x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(-\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +x^{-\alpha} +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;-\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr). -\label{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} +\label{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:zweite} \end{align} +Man beachte, dass die zweite Lösung für ganzzahliges $\alpha>0$ nicht +definiert ist. +Man kann auch direkt nachrechnen, dass diese Funktionen Lösungen +der Besselschen Differentialgleichung sind. +% +% Bessel-Funktionen +% \subsubsection{Bessel-Funktionen} Da die Besselsche Differentialgleichung linear ist, ist auch jede Linearkombination der Funktionen -\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:erste} und -\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:zweite} eine Lösung. -Man kann zum Beispiel das Pochhammer-Symbol im Nenner loswerden, -wenn man im Nenner mit $\Gamma(\alpha+1)$ -multipliziert: +Satz~\ref{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer} +ermöglicht, das Pochhammer-Symbol durch Werte der Gamma-Funktion +wie in \[ -\frac{(1/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} +(\alpha+1)_n = \frac{\Gamma(\alpha+k+1)}{\Gamma(\alpha+1)} +\] +auszudrücken. +Damit wird +\begin{align} y_1(x) +&= +x^\alpha +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +\Gamma(\alpha+1) 2^{\alpha} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} -\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}. -\] -Dabei haben wir es durch -Multiplikation mit $(\frac12)^\alpha$ auch geschafft, die Funktion -einheitlich als Funktion von $x/2$ auszudrücken. +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:normierungsgleichung} +\end{align} +Nur gerade der Faktor $2^\alpha\Gamma(\alpha+1)$ ist von $k$ und $x$ +unabhängig, daher ist die folgende Definition sinnvoll: \begin{definition} \label{buch:differentialgleichungen:bessel:definition} @@ -262,12 +300,34 @@ J_{\alpha}(x) \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} \] heisst {\em Bessel-Funktion erster Art der Ordnung $\alpha$}. +\index{Bessel-Funktion!erster Art}% \end{definition} +Die Bessel-Funktion $J_\alpha(x)$ der Ordnung $\alpha$ unterscheidet sich +nur durch einen Normierungsfaktor von der Lösung $y_1(x)$. +Dasselbe gilt für $J_{-\alpha}(x)$ und $y_2(x)$: +\begin{align*} +J_{\alpha}(x) +&= +\frac{1}{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)} +\cdot +y_1(x) +\\ +J_{-\alpha}(x) +&= +\frac{1}{2^{-\alpha}\Gamma(-\alpha+1)} +\cdot +y_2(x). +\end{align*} + +% +% Ganzzahlige Ordnung +% +\subsubsection{Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung} Man beachte, dass diese Definition für beliebige ganzzahlige $\alpha$ funktioniert. Ist $\alpha=-n<0$, $n\in\mathbb{N}$, dann hat der Nenner Pole -an den Stellen $k=0,1,\dots,n-$. +an den Stellen $k=0,1,\dots,n-1$. Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder \begin{align*} J_{-n}(x) @@ -285,7 +345,22 @@ J_{-n}(x) (-1)^n J_{n}(x). \end{align*} +Insbesondere unterscheiden sich $J_n(x)$ und $J_{-n}(x)$ nur durch +ein Vorzeichen. + +Als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung erwarten wir noch +eine zweite, linear unabhängige Lösung. +Diese kann jedoch nicht allein mit der Potenzreihenmethode, +dazu sind die Methoden der Funktionentheorie nötig. +Im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +wird gezeigt, wie dies möglich ist und auf +Seite~\pageref{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art} +werden die damit zu findenden Bessel-Funktionen 0-ter Ordnung und +zweiter Art vorgestellt. +% +% Erzeugende Funktione +% \subsubsection{Erzeugende Funktion} \begin{figure} \centering @@ -388,11 +463,15 @@ Die beiden Exponentialreihen sind \notag \end{align} +% +% Additionstheorem +% \subsubsection{Additionstheorem} Die erzeugende Funktion kann dazu verwendet werden, das Additionstheorem für die Besselfunktionen zu beweisen. \begin{satz} +\index{Satz!Additionstheorem für Besselfunktionen}% Für $l\in\mathbb{Z}$ und $x,y\in\mathbb{R}$ gilt \[ J_l(x+y) = \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y). @@ -438,7 +517,9 @@ J_l(x+y) &= \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y) für alle $l$. \end{proof} - +% +% Der Fall \alpha=0 +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=0$} Im Fall $\alpha=0$ hat das Indexpolynom eine doppelte Nullstelle, wir können daher nur eine Lösung erwarten. @@ -453,8 +534,10 @@ J_0(x) \] geschrieben werden kann. -% XXX Zweite Lösung explizit durchrechnen +% +% Der Fall \alpha=p, p\in \mathbb{N} +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=p$, $p\in\mathbb{N}, p > 0$} In diesem Fall kann nur die erste Lösung~\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} @@ -467,8 +550,9 @@ J_p(x) \frac{(-1)^k}{k!(p+k)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{p+2k}. \] -TODO: Lösung für $\alpha=-n$ - +% +% Der Fall $\alpha=n+\frac12$ +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=n+\frac12$, $n\in\mathbb{N}$} Obwohl $2\alpha$ eine Ganzzahl ist, sind die beiden Lösungen \label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} @@ -491,7 +575,7 @@ Es ist = \frac{1}{2^k}\bigl(3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2k+1)\bigr) = -\frac{(2k+1)!}{2^{2k+1}\cdot k!} +\frac{(2k+1)!}{2^{2k}\cdot k!} \\ \biggl(-\frac12 + 1\biggr)_k &= @@ -508,63 +592,181 @@ Es ist = \frac{1}{2^k}\bigl(1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2(k-1)+1)\bigr) = -\frac{(2k-1)!}{2^{2k}\cdot (k-1)!} +\frac{(2k-1)!}{2^{2k-1}\cdot (k-1)!} \end{align*} Damit können jetzt die Reihenentwicklungen der Lösung wie folgt umgeformt werden \begin{align*} y_1(x) &= -\sqrt{x} +x^\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = \sqrt{x} \sum_{k=0}^\infty -\frac{2^{2k+1}k!}{(2k+1)!} +\frac{2^{2k}k!}{(2k+1)!} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = \sqrt{x} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k -\frac{2\cdot x^{2k}}{(2k+1)!} +\frac{x^{2k}}{(2k+1)!} \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x +\frac{1}{\sqrt{x}} \sin x \\ y_2(x) &= -\frac{1}{\sqrt{x}} +x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty -\frac{2^{2k}\cdot (k-1)!}{(2k-1)!} +\frac{1}{(-\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = -\frac{1}{\sqrt{x}} +x^{-\frac12} \sum_{k=0}^\infty -(-1)^k -\frac{x^{2k}}{(2k-1)!\cdot k} +\frac{2^{2k-1}\cdot (k-1)!}{(2k-1)!} +\frac{(-x^2/4)^k}{k!} \\ &= -\frac{2}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k-1)!\cdot 2k} = -\frac{2}{\sqrt{x}} \cos x. +\frac{1}{\sqrt{x}} \cos x. \end{align*} -% XXX Nachrechnen, dass diese Funktionen -% XXX Lösungen der Differentialgleichung sind - -\subsection{Analytische Fortsetzung und Bessel-Funktionen zweiter Art} - - - +Die Bessel-Funktionen verwenden aber eine andere Normierung. +Die Gleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel:normierungsgleichung} +zeigt, dass die Bessel-Funktionen durch Division +der Funktion $y_1(x)$ und $y_2(x)$ durch $2^\alpha \Gamma(\alpha+1)$ +erhalten werden können. +Dies ergibt +\begin{equation*} +\renewcommand{\arraycolsep}{1pt} +\begin{array}{rclclclcl} +J_{\frac12}(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{\frac12}\Gamma(\frac12+1)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{\frac12}\frac12\Gamma(\frac12)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\Gamma(\frac12)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\frac12)} +\sqrt{ \frac{2}{x}} +\sin x, +\\ +J_{-\frac12}(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{-\frac12}\Gamma(-\frac12+1)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{2^{\frac12}}{\Gamma(\frac12)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\Gamma(\frac12)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\frac12)} +\sqrt{\frac{2}{x}} +\cos x. +\end{array} +\end{equation*} +Wegen $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ sind die +halbzahligen Bessel-Funktionen daher +\begin{align*} +J_{\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x += +\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{-\frac12}\sin x +& +&\text{und}& +J_{-\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x += +\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{-\frac12}\cos x. +\end{align*} +% +% Direkte Verifikation der Lösungen +% +\subsubsection{Direkte Verifikation der Lösungen für $\alpha=\pm\frac12$} +Tatsächlich führt die Anwendung des Bessel-Operators auf die beiden +Funktionen auf +\begin{align*} +\sqrt{\frac{\pi}2} +BJ_{\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}2} +\biggl( +x^2J_{\frac12}''(x) + xJ_{\frac12}'(x) + x^2J_{\frac12}(x) +\biggr) +\\ +&= +x^2(x^{-\frac12}\sin x)'' ++ +x(x^{-\frac12}\sin x)' ++ +x^2(x^{-\frac12}\sin x) +\\ +&= +x^2( +x^{-{\textstyle\frac12}}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\sin x +)' ++ +x( +x^{-\frac12}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\sin x +) ++ +x^{\frac32}\sin x +\\ +&= +x^2( +-x^{-\frac12}\sin x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\cos x ++{\textstyle\frac{3}{4}}x^{-\frac52}\sin x +) ++ +x^{\frac12}\cos x ++ +x^{-\frac12}(x-{\textstyle\frac12})\sin x +\\ +&= +( +-x^{\frac32} ++{\textstyle\frac34}x^{-\frac12} ++x^{\frac32} +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac12} +) +\sin x += +\frac14x^{-\frac12}\sin x += +\frac14 +\sqrt{\frac{\pi}2} +J_{\frac12}(x) +\\ +BJ_{\frac12}(x) +&= +\biggl(\frac12\biggr)^2 J_{\frac12}(x). +\end{align*} +Dies zeigt, dass $J_{\frac12}(x)$ tatsächlich eine Eigenfunktion +des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2 = \frac14$ ist. +Analog kann man die Lösung $y_2(x)$ für $-\frac12$ verifizieren. diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index e187b68..2fe43c1 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -371,6 +371,7 @@ $c$ darf also kein natürliche Zahl $\ge 2$ sein. Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen. \begin{satz} +\index{Satz!Lösung der eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung}% Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung \begin{equation} x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2} @@ -906,6 +907,7 @@ Funktion wohldefiniert. Wir fassen diese Resultat zusammen: \begin{satz} +\index{Satz!1f1@Differentialgleichung von $\mathstrut_1F_1$}% \label{buch:differentialgleichungen:satz:1f1-dgl-loesungen} Die Differentialgleichung \[ @@ -1591,7 +1593,7 @@ x\cdot \end{align*} als Lösungen. Die Differentialgleichung von $\mathstrut_0F_1$ sollte sich in diesem -Fall also auf die Airy-Differentialgleichung reduzieren lassen. +Fall also auf die Airy-Dif\-fe\-ren\-tial\-glei\-chung reduzieren lassen. Bei der Substition der Parameter in die Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} beachten wird, dass @@ -1757,6 +1759,7 @@ T_n(x) \biggr). \end{equation} Auch die Tschebyscheff-Polynome lassen sich also mit Hilfe einer -hypergeometrischen Funktion schreiben. +hypergeometrischen Funktion schreiben, wie schon in +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1} +bemerkt wurde. -%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 2d95fb2..9f2e0a6 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -44,6 +44,7 @@ Tatsächlich gilt der folgende sehr viel allgemeinere Satz von Cauchy und Kowalevskaja: \begin{satz}[Cauchy-Kowalevskaja] +\index{Satz!von Cauchy-Kowalevskaja}% Eine partielle Differentialgleichung der Ordnung $k$ für eine Funktion $u(x_1,\dots,x_n,t)=u(x,t)$ in expliziter Form @@ -176,7 +177,8 @@ b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k % % Die Newtonsche Reihe % -\subsection{Die Newtonsche Reihe} +\subsection{Die Newtonsche Reihe +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}} Wir lösen die Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode. @@ -289,7 +291,7 @@ Für ganzzahliges $\alpha$ wird daraus die binomische Formel \] % -% Lösung als hypergeometrische Riehe +% Lösung als hypergeometrische Reihe % \subsubsection{Lösung als hypergeometrische Funktion} Die Newtonreihe verwendet ein absteigendes Produkt im Zähler. @@ -333,6 +335,8 @@ wir die Darstellung Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt. \begin{satz} +\index{Satz!Newtonsche Reihe}% +\label{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert \[ (1-t)^\alpha @@ -370,7 +374,7 @@ entwickeln lassen. \subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht} Für die Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} -funktioniert die Potenzreihenmethod oft nicht. +funktioniert die Potenzreihenmethode oft nicht. Sind die Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ zum Beispiel Konstante $p(x)=p_0$ und $q(x)=q_0$, dann führt der Potenzreihenansatz \[ @@ -418,25 +422,43 @@ $a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$. Für Differentialgleichungen der Art \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} ist also ein anderer Ansatz nötig. -Die Schwierigkeit bestand darin, dass die Gleichungen für die einzelnen -Koeffizienten $a_k$ voneinander unabhängig waren. -Mit einem zusätzlichen Potenzfaktor $x^\varrho$ mit nicht -notwendigerweise ganzzahligen Wert kann die nötige Flexibilität -erreicht werden. -Wir verwenden daher den Ansatz -\[ +Ursache für das Versagen des Potenzreihenansatzes ist, dass die +Koeffizienten der Differentialgleichung bei $x=0$ eine +Singularität haben. +Ist ist daher damit zu rechnen, dass auch die Lösung $y(x)$ an dieser +Stelle singuläres Verhalten zeigen wird. +Die Terme einer Potenzreihe um den Punkt $x=0$ sind nicht singulär, +können eine solche Singularität also nicht wiedergeben. +Der neue Ansatz sollte ähnlich einfach sein, aber auch gewisse ``einfache'' +Singularitäten darstellen können. +Die Potenzfunktionen $x^\varrho$ mit $\varrho<1$ erfüllen beide +Anforderungen. + +\begin{definition} +\label{buch:differentialgleichungen:def:verallpotenzreihe} +Eine {\em verallgemeinerte Potenzreihe} ist eine Funktion der Form +\begin{equation} y(x) = x^\varrho \sum_{k=0}^\infty a_kx^k = \sum_{k=0}^\infty a_k x^{\varrho+k} -\] -und versuchen nicht nur die Koeffizienten $a_k$ sondern auch den -Exponenten $\varrho$ zu bestimmen. -Durch Modifikation von $\varrho$ können wir immer erreichen, dass -$a_0\ne 0$ ist. - -Die Ableitungen von $y(x)$ mit der zugehörigen Potenz von x sind +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe} +\end{equation} +mit $a_0\ne 0$. +\end{definition} + +Die Forderung $a_0\ne 0$ kann nötigenfalls durch Modifikation des +Exponenten $\varrho$ immer erreicht werden. + +Wir verwenden also eine verallgemeinerte Potenzreihe der Form +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe} +als Lösungsansatz für die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}. +Wir berechnen die Ableitungen von $y(x)$ und um sie in der +Differentialgleichung einzusetzen, versehen wir sie auch gleich mit den +benötigten Potenzen von $x$. +So erhalten wir \begin{align*} xy'(x) &= @@ -451,8 +473,9 @@ x^2y''(x) \sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}. \end{align*} -Diese Ableitungen setzen wir jetzt in die Differentialgleichung ein, -die dadurch zu +Diese Ausdrücke setzen wir jetzt in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} +ein, die dadurch zu \begin{equation} \sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1) a_k x^{\varrho+k} + @@ -487,6 +510,7 @@ Ausgeschrieben geben die einzelnen Terme \bigl((\varrho +2)a_2p_0 + (\varrho+1)a_1p_1 + \varrho a_0 p_2\bigr) x^{\varrho+2} + \dots +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} \\ &+ q_0a_0x^{\varrho} @@ -683,18 +707,17 @@ Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} dargestellt werden. \item -Fall 3: $\varrho_1-\varrho-2$ ist eine positive ganze Zahl. +Fall 3: $\varrho_1-\varrho_2$ ist eine positive ganze Zahl. In diesem Fall ist im Allgemeinen nur eine Lösung in Form einer verallgemeinerten Potenzreihe möglich. Auch hier müssen Techniken der Funktionentheorie aus Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} verwendet werden, um eine zweite Lösung zu finden. -\end{itemize} - Wenn $\varrho_1-\varrho_2$ eine negative ganze Zahl ist, kann man die beiden Nullstellen vertauschen. -Es folgt dann, dass es eine +\end{itemize} + |