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diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex index 5ae989c..cedb169 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -13,6 +13,9 @@ erkannt. In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob man sie auch auch durch Integrale definieren kann. +% +% Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion 2F1 +% \subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$} @@ -56,8 +59,33 @@ an, erhalten wir wegen $dt = 2\cos s\sin s\,ds$ \,ds. \end{align*} -XXX Parametrisierung für Intervall $[0,\infty)$ +Die Substitution $t=s/(s+1)$ wird das Integral zu einem Integral +über $[0,\infty)$ +\begin{align*} +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) +&= +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 +\biggl(\frac{s}{s+1}\biggr)^{b-1} +\biggl(\frac{1}{s+1}\biggr)^{c-b-1} +\biggl(\frac{1+s-zs}{s+1}\biggr)^{-a} +\,dt +\\ +&= +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 +\frac{ +s^{b-1} +}{ +(s+1)^{c-a} +} +(1+s-zs)^{-a} +\,dt +\end{align*} +% +% Integraldarstellung asl Integraltransformation +% \subsection{Integraldarstellung als Integraltransformation} Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, wie sich die Funktion $\mathstrut_2F_1$ als ein Integral des Integranden @@ -117,7 +145,7 @@ hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_0F_1(;a;xt)$ multipliziert und integriert. Dies suggeriert, dass sich möglicherweise jede der hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ durch ein Integral, dessen -Integrand $\mathstrut pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. +Integrand $\mathstrut_pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. \begin{satz} Es gilt |