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diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex index c303c7e..6c8a1df 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex @@ -208,7 +208,7 @@ Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen, dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen -\begin{equation*} +\begin{equation} \renewcommand{\arraycolsep}{2pt} \begin{array}{rcccrl} \langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle @@ -218,7 +218,8 @@ Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen \hline 0 & & &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle& \end{array} -\end{equation*} +\label{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht} +\end{equation} Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein. Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h. @@ -365,22 +366,3 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 \] verwendet werden. -\subsubsection{Selbstadjungierte Form einer Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Partielle Integration wurde verwendet, um zu zeigen, dass die zu -einigen bekannten Differentialgleichungen gehörigen Differentialoperatoren -als selbstadjungierte Operatoren in einem Funktionenraum mit einem -geeigneten Skalarprodukt sind. - -TODO: -\url{https://mathworld.wolfram.com/Self-Adjoint.html} - -\begin{beispiel} -TODO - -Auch die hypergeometrische Differentialgleichung kann in selbstadjungierte -Form gebracht werden. -\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} -\end{beispiel} - - - |