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-\subsubsection{Eigenschaften eines Skalarproduktes} -Das Skalarprodukt erlaubt auch, die Länge eines Vektors $v$ -als $|v| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ zu definieren. -Dies funktioniert natürlich nur, wenn die Wurzel auch immer -definiert ist, d.~h.~das Skalarprodukt eines Vektors mit sich -selbst darf nicht negativ sein. -Dazu dient die folgende Definition. - -\begin{definition} -Sei $V$ ein reeller Vektorraum. -Eine bilineare Abbildung -\[ -\langle\;\,,\;\rangle -\colon -V\times V -\to -\mathbb{R} -: -(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle. -\] -heisst {\em positiv definit}, wenn für alle Vektoren $v \in V$ mit -$v\ne 0 \Rightarrow \langle v,v\rangle > 0$ -Die {\em Norm} eines Vektors $v$ ist -$|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$. -\end{definition} - -Damit man mit dem Skalarprodukt sinnvoll rechnen kann, ist ausserdem -erforderlich, dass es eine einfache Beziehung zwischen -$\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt. - -\begin{definition} -Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine -positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung -\[ -\langle\;\,,\;\rangle -\colon -V\times V -\to -\mathbb{R} -: -(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle. -\] -\end{definition} - -Das Skalarprodukt $\langle u,v\rangle=u^tv$ auf dem Vektorraum -$\mathbb{R}^n$ erfüllt die Definition ganz offensichtlich, -sie führt auf die Komponentendarstellung -\[ -\langle u,v\rangle = u^tv = \sum_{k=1}^n u_iv_i. -\] -Weitere Skalarprodukte ergeben ergeben sich mit jeder symmetrischen, -positiv definiten Matrix $G$ und der Definition -$\langle u,v\rangle_G=u^tGv$. -Ein einfacher Spezialfall tritt auf, wenn $G$ eine Diagonalmatrix -$\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)$ -mit positiven Einträgen $w_i>0$ auf der Diagonalen ist. -In diesem Fall schreiben wir -\[ -\langle u,v\rangle_w -= -u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v -= -\sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i -\] -und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt} -mit {\em Gewichten $w_i$}. - -\subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen} -Das Integral ermöglicht jetzt, ein Skalarprodukt auf dem reellen -Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem Intervall zu definieren. - -\begin{definition} -Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen -Funktion auf dem Intervall $[a,b]$. -Dann ist -\[ -\langle\;\,,\;\rangle -\colon -C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R} -: -(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx. -\] -ein Skalarprodukt. -\end{definition} - -Die Definition ist offensichtlich symmetrisch in $f$ und $g$ und -aus den Eigenschaften des Integrals ist klar, dass das Produkt -bilinear ist: -\begin{align*} -\langle \lambda_1 f_1+\lambda_2f_2,g\rangle -&= -\int_a^b (\lambda_1f_(x) +\lambda_2f_2(x))g(x)\,dx -= -\lambda_1\int_a^b f_1(x) g(x)\,dx -+ -\lambda_2\int_a^b f_2(x) g(x)\,dx -\\ -&= -\lambda_1\langle f_1,g\rangle -+ -\lambda_2\langle f_2,g\rangle. -\end{align*} -Ausserdem ist es positiv definit, denn wenn $f(x_0) \ne 0$ ist, -dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f$ eine Umgebung -$U=[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, derart, dass $|f(x)| > \frac12|f(x_0)|$ -ist für alle $x\in U$. -Somit ist das Integral -\[ -\langle f,f\rangle -= -\int_a^b |f(x)|^2\,dx -\ge -\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} |f(x)|^2\,dx -\ge -\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \frac14|f(x_0)|^2\,dx -= -\frac{1}{4}|f(x_0)|^2\cdot 2\varepsilon -= -\frac{|f(x_0)|^2\varepsilon}{2} ->0, -\] -was beweist, dass $\langle\;,\;\rangle$ positiv definit und damit -ein Skalarprodukt ist. - -Die Definition kann noch etwas verallgemeinert werden, indem -die Funktionswerte nicht überall auf dem Definitionsbereich -gleich gewichtet werden. - -\begin{definition} -Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion, -dann ist -\[ -\langle\;\,,\;\rangle_w -\colon -C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R} -: -(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)\,w(x)\,dx. -\] -das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichtsfunktion $w(x)$}. -\end{definition} - -\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung} -In einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;\,,\;\rangle$ -kann aus einer beleibigen Basis $b_1,\dots,b_n$ mit Hilfe des -Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens immer eine -orthonormierte Basis $\tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_n$ Basis -gewonnen werden. -Es stellt sicher, dass für alle $k\le n$ gilt -\[ -\langle b_1,\dots,b_k\rangle -= -\langle \tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_k\rangle. -\] -Zur Vereinfachung der Formeln schreiben wir $v^0=v/|v|$ für einen zu -$v$ parallelen Einheitsvektor. -Die Vektoren $\tilde{b}_i$ können mit Hilfe der Formeln -\begin{align*} -\tilde{b}_1 -&= -(b_1)^0 -\\ -\tilde{b}_2 -&= -\bigl( -b_2 -- -\langle \tilde{b}_1,b_2\rangle \tilde{b}_1 -\bigr)^0 -\\ -\tilde{b}_3 -&= -\bigl( -b_3 -- -\langle \tilde{b}_1,b_3\rangle \tilde{b}_1 -- -\langle \tilde{b}_2,b_3\rangle \tilde{b}_2 -\bigr)^0 -\\ -&\;\vdots -\\ -\tilde{b}_n -&= -\bigl( -b_n -- -\langle \tilde{b}_1,b_n\rangle \tilde{b}_1 -- -\langle \tilde{b}_2,b_n\rangle \tilde{b}_2 --\dots -- -\langle \tilde{b}_{n-1},b_n\rangle \tilde{b}_{n-1} -\bigr)^0 -\end{align*} -iterativ berechnet werden. -Dieses Verfahren lässt sich auch auf Funktionenräume anwenden. - -Die Normierung ist nicht unbedingt nötig und manchmal unangenehm, -da die Norm unschöne Quadratwurzeln einführt. -Falls es genügt, eine orthogonale Basis zu finden, kann darauf -verzichtet werden, bei der Orthogonalisierung muss aber berücksichtigt -werden, dass die Vektoren $\tilde{b}_i$ jetzt nicht mehr Einheitslänge -haben. -Die Formeln -\begin{align*} -\tilde{b}_0 -&= -b_0 -\\ -\tilde{b}_1 -&= -b_1 -- -\frac{\langle b_1,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0 -\\ -\tilde{b}_2 -&= -b_2 -- -\frac{\langle b_2,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0 -- -\frac{\langle b_2,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1 -\\ -&\;\vdots -\\ -\tilde{b}_n -&= -b_n -- -\frac{\langle b_n,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0 -- -\frac{\langle b_n,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1 -- -\dots -- -\frac{\langle b_n,\tilde{b}_{n-1}\rangle}{\langle \tilde{b}_{n-1},\tilde{b}_{n-1}\rangle}\tilde{b}_{n-1}. -\end{align*} -berücksichtigen dies. - -\subsubsection{Selbstadjungierte Operatoren und Eigenvektoren} -Symmetrische Matrizen spielen eine spezielle Rolle in der -endlichdimensionalen linearen Algebra, weil sie sich immer -mit einer orthonormierten Basis diagonalisieren lassen. -In der vorliegenden Situation undendlichdimensionaler Vektorräume -brauchen wir eine angepasste Definition. - -\begin{definition} -Eine lineare Selbstabbildung $A\colon V\to V$ -eines Vektorrraums mit Skalarprodukt -heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$ -heisst $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$. -\end{definition} - -Es ist wohlbekannt, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix -zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. -Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier -für spätere Verwendung fest. - -\begin{satz} -Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$ -zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$ -orthogonal. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen, -dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen -Eigenwerten orthogonal sind. -Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen -\begin{equation*} -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{rcccrl} -\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle -&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\ -=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle& -\\[2pt] -\hline - 0 & & &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle& -\end{array} -\end{equation*} -Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein. -\end{proof} - -\begin{beispiel} -Sei $C^1([0,2\pi], \mathbb{C})=C^1(S^1,\mathbb{C})$ -der Vektorraum der $2\pi$-periodischen differenzierbaren Funktionen mit -dem Skalarprodukt -\[ -\langle f,g\rangle -= -\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,dt -\] -enthält die Funktionen $e_n(t) = e^{int}$. -Der Operator -\[ -D=i\frac{d}{dt} -\] -ist selbstadjungiert, denn mit Hilfe von partieller Integration erhält man -\[ -\langle Df,g\rangle -= -\frac{1}{2\pi} -\int_0^{2\pi} -\underbrace{ -\overline{i\frac{df(t)}{dt}} -}_{\uparrow} -\underbrace{g(t)}_{\downarrow} -\,dt -= -\underbrace{ -\frac{-i}{2\pi} -\biggl[ -\overline{f(t)}g(t) -\biggr]_0^{2\pi} -}_{\displaystyle=0} -+ -\frac{1}{2\pi} -\int_0^{2\pi} -\overline{f(t)}i\frac{dg(t)}{dt} -\,dt -= -\langle f,Dg\rangle -\] -unter Ausnützung der $2\pi$-Periodizität der Funktionen. - -Die Funktionen $e_n(t)$ sind Eigenfunktionen des Operators $D$, denn -\[ -De_n(t) = i\frac{d}{dt}e^{int} = -n e^{int} = -n e_n(t). -\] -Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal. -\end{beispiel} - -Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien -ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind. - -% -% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie -% -\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} -Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. -Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ -mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass -auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt. -Das Skalarprodukt ist -\[ -\langle f,g\rangle -= -\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr, -\] -als Operator verwenden wir -\[ -A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r), -\] -wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann. -Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist. -Dazu rechnen wir -\begin{align} -\langle Af,g\rangle -&= -\int_0^\infty -r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r) -\,dr -\notag -\\ -&= -\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -\notag -\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher -ändern wir daran weiter nichts. -Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält} -&= -\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty -- -\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr -+ -\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -\notag -\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die -Funktionen $f$ und $g$. -Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das -zweite Integral weg. -Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$. -Somit ergibt sich -} -&= --\langle f',g'\rangle -+ -\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr. -\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa} -\end{align} -Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im -letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen -$f$ und $g$ symmetrische auftreten. -Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist. -Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch -orthogonal sind. - -Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung -\[ -\begin{aligned} -&& -Af&=\lambda f -\\ -&\Rightarrow\qquad& -f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r) -\\ -&\Rightarrow\qquad& -r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0 -\end{aligned} -\] -sind. - -Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator -$B$ definiert in -\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}. -Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten -des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die -Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. - -% -% Orthogonale Polynome -% -\subsection{Orthogonale Polynome -\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}} -Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums -der Polynome vom Grad $\le n$. -Bezüglich des Skalarproduktes -\[ -\langle p,q\rangle -= -\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx -\] -sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist -\[ -\langle x^i,x^j\rangle -= -\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx -= -\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1 -= -\begin{cases} -\displaystyle -\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\ - 0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}. -\end{cases} -\] -Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren -anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was -wir im Folgenden tun wollen. - -% XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird, -% XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht. - -Da wir auf die Normierung verzichten, brauchen wir ein anderes -Kriterium, welches die Polynome eindeutig festlegen kann. -Wir bezeichnen das Polynom vom Grad $n$, das bei diesem Prozess -entsteht, mit $P_n(x)$ und legen willkürlich aber traditionskonform -fest, dass $P_n(1)=1$ sein soll. - -Das Skalarprodukt berechnet ein Integral eines Produktes von zwei -Polynomen über das symmetrische Interval $[-1,1]$. -Ist die eine gerade und die andere ungerade, dann ist das -Produkt eine ungerade Funktion und das Skalarprodukt verschwindet. -Sind beide Funktionen gerade oder ungerade, dann ist das Produkt -gerade und das Skalarprodukt ist im Allgmeinen von $0$ verschieden. -Dies zeigt, dass es tatsächlich etwas zu Orthogonalisieren gibt. - -Die ersten beiden Funktionen sind das konstante Polynom $1$ und -das Polynome $x$. -Nach obiger Beobachtung ist das Skalarprodukt $\langle 1,x\rangle=0$, -also ist $P_1(x)=x$. -Die Graphen der entstehenden Polynome sind in -Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} -dargestellt. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf} -\caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$. -\label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}} -\end{figure} - -\begin{lemma} -Die Polynome $P_{2n}(x)$ sind gerade, die Polynome $P_{2n+1}(x)$ sind -ungerade Funktionen von $x$. -\end{lemma} - -\begin{proof}[Beweis] -Wir verwenden vollständige Induktion nach $n$. -Wir wissen bereits, dass $P_0(x)=1$ und $P_1(x)=x$ die verlangten -Symmetrieeigenschaften haben. -Im Sinne der Induktionsannahme nehmen wir daher an, dass die -Symmetrieeigenschaften für $P_k(x)$, $k<n$, bereits bewiesen sind. -$P_n(x)$ entsteht jetzt durch Orthogonalisierung nach der Formel -\[ -P_n(x) -= -x^n -- -\langle P_{n-1},x^n\rangle P_{n-1}(x) -- -\langle P_{n-2},x^n\rangle P_{n-2}(x) --\dots- -\langle P_1,x^n\rangle P_1(x) -- -\langle P_0,x^n\rangle P_0(x). -\] -Die Skalarprodukte -$\langle P_{n-1},x^n\rangle$, -$\langle P_{n-3},x^n\rangle$, $\dots$ verschwinden alle, so dass -$P_n(x)$ eine Linearkombination der Funktionen $x^n$, $P_{n-2}(x)$, -$P_{n-4}(x)$ ist, die die gleiche Parität wie $x^n$ haben. -Also hat auch $P_n(x)$ die gleiche Parität, was das Lemma beweist. -\end{proof} - -Die Ortogonalisierung von $x^2$ liefert daher -\[ -p(x) = x^2 -- -\frac{\langle x^2,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle} P_0(x) -= -x^2 - \frac{\int_{-1}^1x^2\,dx}{\int_{-1}^11\,dx} -= -x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2}=x^2-\frac13 -\] -Dieses Polynom erfüllt die Standardisierungsbedingung noch -nicht den $p(1)=\frac23$. -Daraus leiten wir ab, dass -\[ -P_2(x) = \frac12(3x^2-1) -\] -ist. - -Für $P_3(x)$ brauchen wir nur die Skalaprodukte -\[ -\left. -\begin{aligned} -\langle x^3,P_1\rangle -&= -\int_{-1}^1 x^3\cdot x\,dx -= -\biggl[\frac15x^5\biggr]_{-1}^1 -= -\frac25 -\qquad -\\ -\langle P_1,P_1\rangle -&= -\int_{-1}^1 x^2\,dx -= -\frac23 -\end{aligned} -\right\} -\qquad -\Rightarrow -\qquad -p(x) = x^3 - \frac{\frac25}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x -\] -Die richtige Standardisierung ergibt sich, -indem man durch $p(1)=\frac25$ dividiert, also -\[ -P_2(x) = \frac12(5x^3-3x). -\] - -Die Berechnung weiterer Polynome verlangt, dass Skalarprodukte -$\langle x^n,P_k\rangle$ berechnet werden müssen, was wegen -der zunehmend komplizierten Form von $P_k$ etwas mühsam ist. -Wir berechnen den Fall $P_4$. -Dazu muss das Polynom $x^4$ um eine Linearkombination von -$P_2$ und $P_0(x)=1$ korrigiert werden. -Die Skalarprodukte sind -\begin{align*} -\langle x^4, P_0\rangle -&= -\int_{-1}^1 x^4\,dx = \frac25 -\\ -\langle P_0,P_0\rangle -&= -\int_{-1}^1 \,dx = 2 -\\ -\langle x^4,P_2\rangle -&= -\int_{-1}^1 \frac32x^6-\frac12 x^4\,dx -= -\biggl[\frac{3}{14}x^7-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{-1}^1 -= -\frac6{14}-\frac15 -= -\frac8{35} -\\ -\langle P_2,P_2\rangle -&= -\int_{-1}^1 \frac14(3x^2-1)^2\,dx -= -\int_{-1}^1 \frac14(9x^4-6x^2+1)\,dx -= -\frac14(\frac{18}{5}-4+2) -=\frac25. -\end{align*} -Daraus folgt für $p(x)$ -\begin{align*} -p(x) -&= -x^4 -- -\frac{\langle x^4,P_2\rangle}{\langle P_2,P_2\rangle}P_2(x) -- -\frac{\langle x^4,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0(x) -\\ -&= -x^4 --\frac47 P_2(x) - \frac15 P_0(x) -\\ -&= -x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35} -\end{align*} -mit $p(1)=\frac{8}{35}$, so dass man -\[ -P_4(x) = -\frac18(35x^4-30x^2+3) -\] -setzen muss. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf} -\caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau}) -und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}). -Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen -von $P_4(x)^2$, $P_4(x)$ muss durch die Wurzel aus diesem Flächeninhalt -geteilt werden, um ein Polynome mit Norm $1$ zu erhalten. -Für die grüne Fläche ist es $P_7(x)$. -Die rote Kurve ist der Graph der Funktion $P_4(x)\cdot P_7(x)$, -die rote Fläche ist deren Integral, sie ist $0$, d.~h.~die beiden -Funktionen sind orthogonal. -\label{buch:integral:orthogonal:legendreortho}} -\end{figure} - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{1.2} -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|} -\hline -n&P_n(x)\\ -\hline - 0&1 -\\ - 1&x -\\ - 2&\frac12(3x^2-1) -\\ - 3&\frac12(5x^3-3x) -\\ - 4&\frac18(35x^4-30x^2+3) -\\ - 5&\frac18(63x^5-70x^3+15x) -\\ - 6&\frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5) -\\ - 7&\frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x) -\\ - 8&\frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35) -\\ - 9&\frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x) -\\ -10&\frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63) -\\[2pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Die Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=0,1,\dots,10$ sind -orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben. -\label{buch:integral:table:legendre-polynome}} -\end{table} - - - -Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}. -Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in -Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. -Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} -dargestellt. -Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, -dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. -Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. - -\input{chapters/060-integral/jacobi.tex} - -\subsection{TODO} -\begin{itemize} -\item Jacobi-Polynome -\item Tschebyscheff-Polynome -\end{itemize} - -%% -%% Differentialgleichungen -%% -%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} -%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} -%\subsubsection{Legendre-Polyome} -%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} -%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} - -\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex} -\input{chapters/060-integral/sturm.tex} -\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex} - |