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diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index 09be355..73bc804 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -6,6 +6,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ + chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ chapters/060-integral/orthogonal.tex \ diff --git a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex index ced3ab2..142abd8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex @@ -40,6 +40,7 @@ Der Risch-Algorithmus von Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} gibt darauf eine Antwort. \input{chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex} +\input{chapters/060-integral/eulertransformation.tex} \input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex} \input{chapters/060-integral/risch.tex} \input{chapters/060-integral/orthogonal.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex new file mode 100644 index 0000000..4e424f1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -0,0 +1,174 @@ +% +% eulertransformation.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Euler-Transformation der hypergeometrischen Funktionen +\label{buch:integral:section:eulertransformation}} +\rhead{Euler-Transformation} +Die hypergeometrischen Funktionen wurden bisher einerseits +als Reihen mit einer speziellen Rekursionsrelation der Reihenglieder +und als Lösungen einer speziellen Art von Differentialgleichung +erkannt. +In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob man sie auch +auch durch Integrale definieren kann. + +\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_2F_1$} + +XXX An dieser Stelle Abschnitt 4.3.5 (Integraldarstellung) einfügen + +\begin{satz}[Euler] +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ kann durch das +Integral +\begin{equation} +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 +t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a} +\,dt +\end{equation} +dargestellt werden. +\end{satz} + +\subsection{Integraldarstellung als Integraltransformation} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, wie sich die Funktion +$\mathstrut_2F_1$ als ein Integral des Integranden +\[ +t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a} +\] +ausdrücken lässt. +Der letzte Faktor $(1-xt)^{-a}$ kann mit der Binomialreihe +\begin{align*} +(1+x)^\alpha +&= +1 ++ +\alpha x ++ +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 ++ +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 ++ +\\ +&= +1 ++ +\frac{-\alpha}{1}(-x) ++ +\frac{-\alpha(-\alpha+1)}{2!} (-x)^2 ++ +\frac{-\alpha(-\alpha+1)(-\alpha+2)}{3!} (-x)^3 ++ +\dots +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!} (-x)^k += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix} +\text{---}\\-\alpha +\end{matrix} +;-x +\biggr) +\end{align*} +als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. +Die Integraldarstellung von $\mathstrut_2F_1$ kann daher auch als +\[ +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} +\, +\mathstrut_0F_1(;a;zt)\,dt +\] +Eine gewisse Ähnlichkeit zur Laplace-Transformation ist dieser +Formel nicht abzusprechen. +Die Funktion \( t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} \) wird statt mit der +Exponentialfunktion $e^{xt} = \mathstrut_0F_0(xt)$ mit der +hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_0F_1(;a;xt)$ multipliziert und +integriert. +Dies suggeriert, dass sich möglicherweise jede der hypergeometrischen +Funktionen $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ durch ein Integral, dessen +Integrand $\mathstrut pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. + +\begin{satz} +Es gilt +\[ +\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_{p+1}\\ +b_1,\dots,b_{q+1} +\end{matrix} +;z +\biggr) += +\frac{\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})} +\int_0^1 +t^{a_{p+1}-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix};zt +\biggr) +\,dt +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $I$ das Integral auf der rechten Seite. +Wir setzen die Reihenentwicklung der Funktion $\mathstrut_pF_q$ in +die Integralformel ein und erhalten +\begin{align*} +I +&= +\int_0^1 t^{a_{p+1}-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{(zt)^k}{k!} +\,dt +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +\int_0^1 +t^{a_{p+1}+k-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\,dt. +\intertext{Das verbleibende Integral auf der rechten Seite ist das +Beta-Integral $B(a_{p+1}+k, b_{q+1}-a_{p+1})$: +} +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +B(a_{p+1}+k, b_{q+1}-a_{p+1}). +\intertext{Mit der Rekursionsformel aus +Lemma~\ref{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +für das Beta-Integral folgt} +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +\frac{(a_{p+1})_k}{(b_{q+1})_k} B(a_{p+1},b_{q+1}-a_{p+1}) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_{p+1})_k}{(b_1)_k\cdots (b_{q+})_k} +\frac{z^k}{k!} +\frac{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q+1}-a_{p+1})}{\Gamma(b_{q+1})} +\\ +&= +\frac{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q+1}-a_{p+1})}{\Gamma(b_{q+1})} +\,\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_{p+1}\\ +b_1,\dots,b_{q+1} +\end{matrix}; z\biggr). +\end{align*} +Auflösen nach $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ ergibt die behauptete +Formel. +\end{proof} + + |