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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex new file mode 100644 index 0000000..870c8a8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -0,0 +1,485 @@ +% +% Anwendung: Gauss-Quadratur +% +\section{Anwendung: Gauss-Quadratur} +\rhead{Gauss-Quadratur} +Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem +von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. +Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr +gut durch Polynome approximieren lassen. +Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome +sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für +andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird. + +\subsection{Interpolationspolynome} +Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ +ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten +$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt. +Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem +linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ +ermittelt werden können. + +Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt +angeben. +Dazu konstruiert man zuerst die Polynome +\[ +l_i(x) += +\frac{ +(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n) +}{ +(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n) +} +\] +vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren +im Produkt wegzulassen sind. +Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft +\[ +l_i(x_j) = \delta_{ij} += +\begin{cases} +1&\qquad i=j\\ +0&\qquad\text{sonst}. +\end{cases} +\] +Die Linearkombination +\[ +p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x) +\] +ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$ +die Werte +\[ +p(x_j) += +\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j) += +\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij} += +f(x_j) +\] +hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom. + +\subsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation} +Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ +kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden. +Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt +für die Integrale +\[ +\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr| +\le +\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx +\le +2\varepsilon. +\] +Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch +eine gute Approximation für das Integral. + +Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$ +bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten +berechnet werden können. +Tatsächlich ist +\begin{equation} +\int_{-1}^1 p(x)\,dx += +\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx += +\sum_{i=0}^n f(x_i) +\underbrace{\int_{-1}^1 +l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}. +\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} +\end{equation} +Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$ +gewichtete Summe +\[ +\int_{-1}^1 f(x)\,dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i +\] +approximiert. + +\subsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind} +Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten. +Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben, +braucht man $2n+1$ Stützstellen. +Andererseits gilt +\[ +\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\,dx += +\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx, +\] +das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem +Index bestimmt. +Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen +Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das +Integral exakt zu bestimmen. + +\begin{beispiel} +Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also +für $n=1$. +Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$ +derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ +das Integral durch +\[ +\int_{-1}^1 p(x)\,dx += +A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1) +\] +gebeben ist. +Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen, +erhalten wir vier Gleichungen +\[ +\begin{aligned} +p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2 &= A_0\phantom{x_0}+ A_1 \\ +p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0 &= A_0x_0 + A_1x_1 \\ +p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ +p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. +\end{aligned} +\] +Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form +\[ +\left. +\begin{aligned} +A_0x_0 &= -A_1x_1\\ +A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 +\end{aligned} +\quad +\right\} +\quad +\Rightarrow +\quad +x_0^2=x_1^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +x_1=-x_0. +\] +Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir +\[ +0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 +\quad\Rightarrow\quad +A_0=A_1. +\] +Aus der ersten Gleichung folgt jetzt +\[ +2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1. +\] +Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was +mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann: +\[ +\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2 +\quad\Rightarrow\quad +x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} +\] +Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3 +im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch +\[ +\int_{-1}^1 p(x)\,dx += +p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr) ++ +p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr). +\] +Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms +exakt bestimmt werden. + +Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$ +mit bestimmt. +Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die +Stützstellen kennt. +Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} +sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome +$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind: +\begin{align*} +l_0(x) +&= +\frac{x-x_1}{x_0-x_1} += +\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} += +\frac12(1-\sqrt{3}x) +\\ +l_1(x) +&= +\frac{x-x_0}{x_1-x_0} += +\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} += +\frac12(1+\sqrt{3}x) +\end{align*} +Diese haben die Integrale +\[ +\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx += +\int_{-1}^1 \frac12\,dx += +1, +\] +da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat. +Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein. +\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} +\end{beispiel} + +Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$ +verallgemeinert werden. +Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und +Gewichte sehr mühsam. + +\subsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome} +Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum +der Polynome vom Grad $n$. + +\begin{satz} +\label{buch:integral:satz:gaussquadratur} +Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ +orthogonal sind. +Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ +und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass +\[ +\int_{-1}^1 f(x)\,dx = +\sum_{i=0}^n A_if(x_i) +\] +für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen +$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$. +Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es +Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$. +Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch +\[ +\int_{-1}^1 f(x)\,dx += +\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx += +\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx. +\] +Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$. + +Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet +werden können, muss auch +\[ +0 += +\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx += +\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\] +für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. +Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden +kann, den Grad $n-1$ haben, folgt +\[ +0 += +\sum_{i=0}^n +l_j(x_i)p(x_i) += +\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\] +die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms +$p(x)$ sein. +\end{proof} + +Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das +{\em Gausssche Quadraturverfahren}. +Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} +bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz +verlangte Eigenschaft, +dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. +Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man +automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad +$2n-1$ exakt ist. + +\begin{beispiel} +Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die +Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel +auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen +Sützstellen. +\end{beispiel} + +\subsection{Fehler der Gauss-Quadratur} +Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet +Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt. +Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung +angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. + +\begin{satz} +Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer +Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ +eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare +Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals +\[ +\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E +\] +gegeben durch +\begin{equation} +E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx, +\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} +\end{equation} +wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$ und $\xi$ ein geeigneter +Wert im Intervall $[-1,1]$ ist. +\end{satz} + +Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von +\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} +geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$. +Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$ +Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer +stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren +Wert des Integrals konvergieren. + +\begin{table} +\def\u#1{\underline{#1}} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline + n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ +\hline +\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\ +\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\ +\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\ +\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\ + 10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\ + 12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\ + 14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\ + 16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\ + 18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\ + 20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\ +\hline + \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ +berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal +so vielen Stützstellen. +Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur +Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen +nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen. +\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}} +\end{table} + +%\begin{table} +%\def\u#1{\underline{#1}} +%\centering +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +%\hline +% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ +%\hline +%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\ +%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\ +%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\ +%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\ +% 10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\ +% 12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\ +% 14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\ +% 16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\ +% 18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\ +% 20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\ +%\hline +% \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\ +%\hline +%\end{tabular} +%\end{table} + +%\begin{table} +%\def\u#1{\underline{#1}} +%\centering +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +%\hline +% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ +%\hline +%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\ +%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\ +%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\ +%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\ +% 10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\ +% 12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\ +% 14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\ +% 16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\ +% 18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\ +% 20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\ +%\hline +% \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\ +%\hline +%\end{tabular} +%\end{table} + +\begin{table} +\def\u#1{\underline{#1}} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline + n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ +\hline +\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\ +\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\ +\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\ +\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\ + 10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\ + 12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\ + 14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\ + 16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\ + 18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\ + 20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\ +\hline + \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ +berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal +so vielen Stützstellen. +Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun +sich beide Verfahren sehr schwer. +Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen +mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen +nur 3 korrekte Nachkommastellen findet. +\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}} +\end{table} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf} +\caption{Approximationsfehler des +Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} +in Abhängigkeit von $a$. +Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden +$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$ +nahe an $1$ ist. +\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}} +\end{figure} + +Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir +das Integral +\begin{equation} +\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx += +\arcsin a + a \sqrt{1-a^2} +\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} +\end{equation} +mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren +andererseits. +Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt, +berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln. +In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} +und +\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} +sind die Resultate zusammengestellt. +Für $a =\frac12$ zeigt +Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} +die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit +12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht. +Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur +4 korrekte Nachkommastellen. + +An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden +des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}. +Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer +deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren +diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen. +Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie +die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist. +Dies zeigt auch der Graph in +Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}. + +\subsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion} + |