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 \section{Jacobi-Polynome
 \label{buch:integrale:subsection:jacobi-polynome}}
 \rhead{Jacobi-Polynome}
+Das $L^2$-Skalarprodukt von
+Definition~\label{buch:orthogonal:def:skalarprodukt}
+ist nicht das einzige Skalarprodukt von Funktionen, bezüglich dem 
+orthogonale Funktionenfamilien konstruiert werden können.
+Die Definition~\label{buch:orthogonal:def:skalarproduktw}
+erlaubt, das Skalarprodukt mit einer Gewichtsfunktion
+zu erweitern.
 
+Auch in diesem Abschnitt geht es um Polynome, deren Werte auf
+dem Intervall $(-1,1)$ interessieren.
+Die Legendre-Polynome waren aus den Monomen konstruiert worden durch
+Orthogonalisierung bezüglich des gewöhnlichen $L^2$-Skalarproduktes.
+Die Normierung war einigermassen willkürlich gewählt worden und
+hatte nichts mit dem Skalarprodukt zu tun.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf}
+\caption{Nullstellen und Pole der Gewichtsfunktion (rot) legen Ort
+und Grad von Polen und Nullstellen der Funktionen fest, die beschränkte
+$\|\,\cdot\,\|_w$-Norm haben.
+An den Stellen $\pm 1$ und $\pm\frac12$ hat die Gewichtsfunktion
+Pole bzw.~Nullstellen mit Grad $\alpha$.
+Der blaue Bereich deutet an, wie schnell die Funktion $f$ in diesem
+Bereich anwachsen kann, bzw.~wie schnell nahe der Polstelle gegen $0$
+gehen muss.
+\label{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}}
+\end{figure}
+%
+% Pole und Nullstellen der Gewichtsfunktion
+%
+\subsection{Pole und Nullstellen
+\label{buch:orthogonal:pole-und-nullstellen}}
+Das Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$ ist nur sinnvoll
+für Funktionen $f(x)$, für die die Norm $\|f\|_w$ definiert ist.
+An einer Nullstelle $x_0$ der Gewichtsfunktion $w$ darf die Funktion $f$ 
+einen Pol haben. 
+Solange $f(x)$ für $x\to x_0$ nicht zu schnell divergiert, kann
+das Produkt $|f(x)|^2 w(x)$ immer noch integrierbar sein.
+
+
+Um dies etwas genauer zu quantifizieren, nehmen wir an, dass
+$w(x)$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle vom Grad $\alpha$ hat.
+Dies bedeutet, dass $w(x) \approx C|x-x_0|^\alpha$ ist für eine geeignete
+Konstante $C$ und für $|x-x_0|<\varepsilon$.
+Ein Pol von $f$ vom Grad $a$ an der Stelle $x_0$ führt entsprechend auf
+eine Abschätzung $|f(x)| \approx D|f(x)|^{-a}$ für $|x-x_0|<\varepsilon$.
+Dann ist
+\[
+|f(x)|^2 w(x) \approx CD |x-x_0|^{\alpha-2a}.
+\]
+Für das Integral in der Nähe von $x_0$ ist
+\begin{align*}
+\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
+|f(x)|^2 w(x)\,dx
+&\approx 
+CD
+\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
+|x-x_0|^{\alpha-2a}\,dx
+=
+2CD
+\int_0^\varepsilon
+t^{\alpha-2a}
+\,dt
+\\
+&=
+2CD
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\;
+\biggl[\frac{t^{\alpha-2a+1}}{\alpha-2a+1}\biggr]_0^\varepsilon
+&\qquad
+\alpha-2a=-1
+\\[7pt]
+\displaystyle
+\;
+\biggl[ \log t \biggr]_0^\varepsilon
+&\qquad
+\text{sonst.}
+\end{cases}
+\end{align*}
+Der Zähler $t^{\alpha-2a+1}$ divergiert für $t\to 0$ genau dann,
+wenn $\alpha-2a+1<0$ oder $\alpha<2a-1$.
+Auch im zweiten Fall, für $\alpha-2a+1=0$, divergiert das Integral.
+Damit die Norm $\|f\|_w$ definiert ist, muss also $a<\frac12(\alpha+1)$
+sein.
+
+Ganz ähnlich führt eine Polstelle von $w$ vom Grad $\alpha$
+an der Stelle $x_0$ dazu, dass $f$ dort eine Nullstelle vom Grad
+$a$ haben muss.
+Das Normintegral konvergiert nur, wenn $2a-\alpha > -1$ ist
+oder $a > \frac12(\alpha+1)$.
+ 
+Pole der Gewichtsfunktion schränken also ein, welche Funktionen
+überhaupt der Untersuchung mit Hilfe des Skalarproduktes
+$\langle\,\;,\;\rangle$ zugänglich sind
+(Abbildung~\ref{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}).
+Ist die Ordnung $\alpha$ des Poles grösser als $1$, dann müssen die Funktionen
+eine Nullstelle mindestens vom Grad $\frac12(a+1)$ haben.
+Nullstellen der Gewichtsfunktion erweitern die Klasse der Funktionen.
+Ist die Ordnung der Nullstelle $\alpha$, dann dürfen die Funktionen einen
+Pol der Ordnung kleiner als $\frac12(\alpha+1)$ haben.
+
+
+%
+% Die Jacobische Gewichtsfunktion
+%
+\subsection{Jacobische Gewichtsfunktion}
+Die Gewichtsfunktion für die Legendrepolynome war $w(x)=1$, alle
+Punkte im Intervall $(-1,1)$ hatten das gleiche Gewicht.
+Diese soll jetzt ersetzt werden durch eine Gewichtsfunktion, die
+den Punkten an den Intervallenden mehr oder weniger Gewicht gibt,
+wobei auch zugelassen sein soll, dass die Gewichtung nicht symmetrisch
+ist.
+
+\begin{definition}
+Die {\em Jacobi-Gewichtsfunktion} ist die Funktion
+\[
+w^{(\alpha,\beta)}
+\colon (-1,1)\to\mathbb{R}
+:
+x\mapsto w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta
+\]
+mit $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
+Das Skalarprodukt zugehörige Skalarprodukt wird auch als
+\[
+\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}}
+=
+\langle\,\;,\;\rangle_{(\alpha,\beta)}
+\]
+bezeichnet und die zugehörige Norm mit
+\[
+\|f\|_{(\alpha,\beta)}
+=
+\langle f,f\rangle_{(\alpha,\beta)}
+=
+\int_{-1}^1 |f(x)|^2 w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Die {\em Jacobi-Polynome} $P^{(\alpha,\beta)}_n(x)$ sind 
+Polynome vom Grad $n$, die bezüglich des Skalarproduktes
+$\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}}$ orthogonal sind
+und mit
+\[
+P_n^{(\alpha,\beta)}(1) = \binom{n+\alpha}n
+\]
+normiert sind.
+\end{definition}
+
+Für $\alpha=\beta=0$ entsteht die Gewichtsfunktion
+$w^{(0,0)}(x)=1$, die Legendre-Polynome sind also der Spezialfall
+$\alpha=\beta=0$ der Jacobi-Polynome.
+
+Der Exponent $\alpha$ in der Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$
+steuert das Gewicht, welches Punkte am rechten Rand des Intervalls
+erhalten.
+Für positive Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ eine
+Nullstelle vom Grad $\alpha$ an der Stelle $x=1$, nach
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:pole-und-nullstellen}
+dürfen die Funktionen einen Pole der Ordnung $<\frac12(\alpha-1)$ haben.
+Je grösser $\alpha$ ist, desto weniger Gewicht haben die Punkte
+am rechten Rand des Intervalls und desto schneller darf eine Funktion
+für $x\to 1$ divergieren.
+
+Für negative Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ einen
+Pol vom Grad $-\alpha$ an der Stelle $x=1$.
+Funktionen müssen daher also ein Nullstelle mindestens vom Grad
+$\frac12(1-\alpha)$ haben.
+
+%
+% 
+%
+\subsection{Jacobi-Polynome niedrigen Grades}
+
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+\subsection{Jacobi-Polynome als hypergeometrische Funktionen}
+
+%
+%
+%
+\subsection{Jacobi-Differentialgleichung}
+
+%
+%
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+\subsection{Ableitung und Rodrigues-Formel}