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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex index 15ca2e4..3095cc1 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex @@ -140,7 +140,38 @@ von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert. % \subsection{Konvergenzradius \label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}} +In der Theorie der Potenzreihen, die man in einem grundlegenden +Analysiskurs lernt, wird auch genauer untersucht, wie gross +eine Umgebung des Punktes $z_0$ ist, in der die Potenzreihe +im Punkt $z_0$ einer analytischen Funktion konvergiert. -% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität +\begin{satz} +\label{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Die Potenzreihe +\[ +f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_0(z-z_0)^k +\] +ist konvergent auf einem Kreis mit Radius $\varrho$ und +\[ +\frac{1}{\varrho} += +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. +\] +Falls $a_k\ne 0$ für alle $k$ und der folgende Grenzwert existiert, +dann gilt auch +\[ +\varrho = \lim_{n\to\infty} \biggl| \frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|. +\] +\end{satz} + +\begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:konvergenzradius} +\index{Konvergenzradius}% +Der in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Radius $\varrho$ des Konvergenzkreises heisst {\em Konvergenzradius}. +\end{definition} +Man kann auch zeigen, dass der Konvergenzkreis immer so gross ist, +dass auf seinem Rand ein Wert $z$ liegt, für den die Potenzreihe nicht +konvergiert. |