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--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex
@@ -0,0 +1,247 @@
+%
+% fortsetzung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Fortsetzung
+\label{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+Wir haben schon gesehen, dass eine reelle Funktion, die in einem
+Punkte eine konvergente
+Potenzreihe besitzt, auf natürliche Weise auch als komplexe Funktion
+betrachtet werden kann, indem man komplexe Argumente in der Potenzreihe
+zulässt.
+Die neue komplexe Funktion ist ein einem Kreis um den Punkt
+konvergent.
+Mit Hilfe der Potenzreihe kann man also immer eine Funktion auf ein
+Kreisgebiet ausdehen.
+Dieser Abschnitt untersucht die Frage, ob man diese Idee auch auf
+noch grössere Gebiete ausdehnen kann.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Potenzreihen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung einer komplexen Funktion entlang einer
+Kurve $\gamma$.
+\label{komplex:fortsetzung}}
+\end{figure}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ ist immer darstellbar als
+Potenzreihe, und ist daher analytisch.
+So kann zum Beispiel die Funktion $1/z$ als Potenzreihe um jeden
+beliebigen Punkt $z_0$ entwickelt werden:
+\begin{align}
+f(z)
+&=
+\frac1z
+=
+\frac1{z_0-(z_0-z)}
+=
+\frac1{z_0}\cdot
+\frac1{1-\displaystyle\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}}
+=
+\frac1{z_0}\sum_{k=0}^{\infty} \biggl(\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k,
+\label{komplex:1durchreihe}
+\end{align}
+Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind
+\[
+a_k=\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}},
+\]
+und man kann den Konvergenzradius ausrechnen:
+\[
+\frac1{\varrho}
+=
+\limsup_{k\to\infty} \root{k}\of{|a_k|} = \lim_{k\to\infty}\frac1{|z_0|^{\frac{k+1}{k}}}
+=
+\frac1{|z_0|}.
+\]
+Der Konvergenzradius ist limitiert durch die Singularität bei an der Stelle
+$z=0$.
+
+Es gibt also keine einzelne Potenzreihe, die die Funktion $f(z)=\frac1z$ in der
+ganzen komplexen Ebene darstellen kann.
+Wählt man aber einzelne Punkte $z_0$ und $z_1$ derart, dass der Kreis
+um $z_0$ mit Radius $|z_0|$ und der Kreis um $z_1$ mit Radius $|z_1|$
+überlappen, dann werden die beiden Potenzreihen im Überlappungsgebiet
+die gleichen Werte annehmen.
+
+Man könnte allso eine Kurve $\gamma$ in der komplexen Ebene wählen,
+entlang der man in jedem Punkt die Funktion $f(z)$ in eine Potenzreihe
+entwickelt.
+Liegen zwei Punkte nahe genug auf der Kurve $\gamma$, werden die
+Konvergenzkreise der Potenzreihen überlappen, und die Potenzreihen
+werden im Überlappungsgebiet die gleichen Werte liefern.
+
+Selbst wenn man eine Funktion $f(z)$ nur in einem Kreis um den Punkt $z_0$
+kennt, zum Beispiel durch eine Potenzreihe im Punkt $z_0$, kann man entlang
+einer Kurve, die $z_0$ mit $z_1$ verbindet, in jedem Punkt eine Potenzreihe
+finden, die mit der Potenzreihe in den Nachbarpunkten übereinstimmt, und
+so die Definition der Funktion entlang dieser Kurve auf ein grösseres
+Gebiet ausweiten, wie in Abbildung~\ref{komplex:fortsetzung} dargestellt.
+Man nennt dies die {\em analytische Fortsetzung} der Funktion $f(z)$
+entlange der Kurve $\gamma$.
+\index{analytische Fortsetzung}
+\index{Fortsetzung, analytische}
+
+\begin{beispiel}
+Wir haben bereits gesehen, dass sich die Funktion $f(z)=1/z$ in jedem
+Punkt $z_0$ der komplexen Ebene in die Potenzreihe~\eqref{komplex:1durchreihe}
+entwickeln lässt.
+Diese Reihe lässt sich integrieren
+\[
+F(z,z_0)
+=
+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)z_0^{k+1}}z^{k+1},
+\]
+diese Reihe ist ebenfalls auf einem Kreis vom Radius $|z_0|$ um den
+Punkt $z_0$ konvergent.
+Wir vermuten natürlich, dass dies eine Darstellung des natürlichen
+Logarithmus einer komplexen Zahl ist.
+Natürlich ist das immer nur auf einem Kreisgebiet möglich, die Reihe
+für $z=1$ ist zum Beispiel im Punkt $z=-1$ nicht konvergent.
+
+Um eine in der ganzen komplexen Ebene definierte Funktion $\log(z)$ zu
+konstruieren, müssen wir also eine analytische Fortsetzung aufbauen.
+Bei der Integration haben wir eine frei wählbare Integrationskonstante
+$C(z_0)$, die wir so wählen müssen, dass die Reihen im Überlappungsgebiet
+übereinstimmen:
+\[
+F(z,z_0) + C(z_0) = F(z,z_1)  + C(z_1)
+\]
+für jedes $z$ im Überlappungsgebiet.
+Dadurch wird aber nur die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ der Werte festgelegt.
+Da wir Übereinstimmung mit der üblichen Definition des Logarithmus
+erreichen möchten, können wir $C(1)=0$ festlegen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung für die Funktion $\frac1z$
+entlang der Pfade $\gamma_+$ und $\gamma_-$.
+\label{komplex:logfortsetzung}}
+\end{figure}
+Wir konstruieren jetzt die analytische Forstsetzung entlang der Kurven
+$\gamma_+$ und $\gamma_-$ wie in Abbildung~\ref{komplex:logfortsetzung}
+dargestellt.
+Um die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ zu bestimmen, Werten wir die Funktionen
+$F(z,z_0)$ und $F(z,z_1)$ jeweils im rot eingezeichneten Punkt aus.
+Die exakte Berechnung ist etwas mühsam, da es sich ja nur um ein Beispiel
+handelt, können wir die Reihen auch numerisch ausrechnen, und so die
+Differenzen bestimmen:
+\begin{align*}
+&\text{Startpunkt $z_0=1$:}& C(1)&=0             &       &       \\
+&\text{entlang $\gamma_+$:}& C(i)&= i\frac{\pi}2 & C(-1) &=  i\pi\\
+&\text{entlang $\gamma_-$:}&C(-i)&=-i\frac{\pi}2 & C(-1) &= -i\pi
+\end{align*}
+Wir stellen fest, dass die analytische Fortsetzung der Logarthmusfunktion
+entlang der Kurve $\gamma_+$ die Potenzreihe
+\[
+\log_+(z)
+=
+i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+ergibt, während man entlang der  Kurve $\gamma_-$
+\[
+\log_-(z)
+=
+-i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+-i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+findet.
+Die beiden analytischen Fortsetzungen entlang der Kurven $\gamma_+$ und
+$\gamma_-$ stimmen auf der negativen reellen Achse nicht überein,
+sie unterscheiden sich um $2\pi i$:
+\[
+\log_+(z)-\log_-(z)=2\pi i.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel zeigt, dass es im Allgmeinen eine auf der ganzen komplexen
+Ebene definierte komplexe Entsprechung einer reellen Funktion nicht
+zu geben braucht.
+Dieses Phänomen tritt zum Beispiel auch bei der Wurzelfunktion $f(z)=\sqrt{z}$
+auf.
+Diese Funktion ist im Punkt $z=0$ nicht differenzierbar, man muss diesen
+Punkt also aus dem Definitionsbereich ausschliessen.
+Führt man man analog zum Beispiel eine analytische Fortsetzung durch,
+findet man, dass sich die Werte von $f(z)$ für die beiden Wege $\gamma_+$
+und $\gamma_-$ durch das Vorzeichen unterscheiden.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Differentialgleichungen
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-dgl}}
+In Abschnitt~\ref{subsection:wegintegrale} wurde gezeigt, wie Wegintegrale
+Stammfunktionen komplexer Funktionen liefern können.
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde untersucht, wie eine komplex differenzierbare
+Funktion mit Hilfe von analytischer Fortsetzung entlang einer Kurve
+ausgedehnt werden kann.
+
+Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion.
+In jedem beliebigen Punkt des Definitionsbereichs können wir $f(z)$
+in eine Potenzreihe entwickeln, und natürlich auch termweise integrieren.
+Es gibt also in jedem Punkt $z_0$ des Definitionsbereichs eine
+Funktion $F_{z_0}(z)$, die $F'_{z_0}(z)=f(z)$ erfüllt.
+Durch analytische Fortsetzung entlang einer Kurve $\gamma$ können
+wir eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ finden, die in einer
+Umgebung der Kurve $F'(z)=f(z)$ erfüllt.
+
+Sei andererseits $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ eine Kurve in $\mathbb C$.
+Dann können wir die Werte der Stammfunktion im Punkt $\gamma(b)$ durch
+\[
+F(\gamma(b)) = F(\gamma(a))+\int_\gamma f(z)\,dz
+\]
+berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung des Logarithmus als Lösung der
+Differentialgleichung $y'=\frac1z$.
+Bei einem Umlauf um den Nullpunkt nimmt der Wert von $y(z)$ um
+$2\pi i$ zu.
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-log}
+}
+\end{figure}
+Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(z)=1/z$.
+Entlang der reellen Achse weiss man bereits, dass die Stammfunktion
+der natürliche Logarithmus ist, also $F(x)=\log x$.
+Um diese Stammfunktion auf $\mathbb C$ auszudehnen, verwenden wir einen
+kreisförmigen Pfad von der reellen Achse bis zum Punkt $z$.
+Liegt $z$ in der oberen Halbebene, wählen wir einen Pfad in der
+oberen Halbebene, und umgekehrt.
+Wir können die Zahl $z$ in Polarkoordinaten darstellen als $z=re^{i\varphi}$.
+Ein Pfad von der reellen Achse kann mit
+\[
+\gamma\colon [0,1]\to\mathbb C: t\mapsto re^{it\varphi}
+\]
+parametrisiert werden.
+Der Zuwachs der Stammfunktion entlang dieses Pfades ist
+\[
+F(z)-F(r)
+=
+\int_\gamma\frac1z\,dz
+=
+\int_0^1 \frac1{e^{it\varphi}}i\varphi e^{it\varphi}\,dt
+=
+i\varphi \int_0^1\,dt
+=
+i\varphi.
+\]
+Der Wert der Stammfunktion am Anfang der Kurve ist $\log r$, somit
+folgt, dass
+\[
+\log z = \log r + i\varphi
+\]
+(Abbildung~\ref{komplex:analytische-fortsetzung-log}).
+\end{beispiel}
+
+