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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex index c87b083..b2bacae 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex @@ -83,6 +83,7 @@ Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:differenzierbar} Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn \index{komplex differenzierbar}% @@ -107,10 +108,10 @@ Differenzenquotienten finden: &= \frac{z^n-z_0^n}{z-z_0} = -\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1})}{z-z_0} +\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1})}{z-z_0} \\ &= -\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1} +\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1} }_{\displaystyle \text{$n$ Summanden}}. \end{align*} Lassen wir jetzt $z$ gegen $z_0$ gehen, wird die rechte Seite @@ -191,6 +192,7 @@ Dies ist nur möglich, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen. Es folgt also \begin{satz} +\index{Satz!Cauchy-Riemann Differentialgleichungen}% \label{komplex:satz:cauchy-riemann} Real- und Imaginärteil $u(x,y)$ und $v(x,y)$ einer komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ @@ -258,11 +260,12 @@ Der Operator \frac{\partial^2}{\partial y^2} \] heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen. - \index{Laplace-Operator}% +\index{Operator!Laplace-}% \end{definition} \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:harmonisch} Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie die Gleichung \[ |