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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex index 6742865..2a5c62c 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex @@ -82,6 +82,8 @@ in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht. Die Besselsche Differentialgleichung hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der Indexgleichung zugrunde lag. +\index{Besselsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen liefern kann. @@ -107,6 +109,7 @@ Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum. \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:def:loesungsraum} Sei \begin{equation} \sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0 @@ -133,6 +136,8 @@ der Lösungsraum der Differentialgleichung \eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}. Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$. +\index{Lösungsraum einer Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Lösungsraum}% \end{definition} % @@ -171,11 +176,15 @@ Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche Informationen über die Lösung hervorbringen. \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:def:fortsetzungsoperator} +\index{Fortsetzungsoperator}% Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird mit $\sk f(x)$ bezeichnet. +\index{analytische Fortsetzung}% +\index{Fortsetzung, analytisch}% \end{definition} Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als |