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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex new file mode 100644 index 0000000..8bc276f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +Verwenden Sie die Eulersche Spiegelungsformel um +\[ +S_n += +\sum_{k=1}^n +\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr) +\] +zu berechnen. + +\begin{loesung} +Zunächst beachten wir, dass +\[ +1 - \frac{1+2k}2 += +\frac{1-2k}2. +\] +Dies bedeutet, dass +\[ +\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr) +\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr) += +\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr) +\Gamma\biggl(1-\frac{1+2k}2\biggr) += +\frac{\pi}{ +\sin\pi\frac{1+2k}2 +} += +\frac{\pi}{\sin(2k+1)\frac{\pi}2} +\] +nach der Eulerschen Spiegelungsformel. +Das Argument der Sinus-Funktion ist ein ungerades Vielfaches +von $\frac{\pi}2$, die Sinus-Funktion hat dort die Werte $\pm 1$, +genauer +\[ +\sin(2k+1)\frac{\pi}2 += +(-1)^k. +\] +Damit wird die gesuchte Summe: +\[ +S_n += +\sum_{k=1}^n +\frac{\pi}{(-1)^k} += +-\pi+\pi-\pi+\dots+(-1)^n\pi += +\begin{cases} +0&\qquad\text{$n$ gerade}\\ +-\pi&\qquad\text{$n$ ungerade}. +\end{cases} +\qedhere +\] +\end{loesung} |