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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex new file mode 100644 index 0000000..1e35616 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -0,0 +1,181 @@ +% +% ellintegral.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Elliptische Integrale +\label{buch:elliptisch:section:integral}} +\rhead{Elliptisches Integral} +Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener +Form ausdrücken liess. +Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als +neue spezielle Funktionen zu definieren. + +\subsection{Definition +\label{buch:elliptisch:subsection:definition}} +Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form +\begin{equation} +\int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx +\label{buch:elliptisch:def:allgemein} +\end{equation} +wobei $R(x,y)$ eine rationale Funktion von zwei Variablen ist und +$p(x)$ ein Polynom dritten oder vierten Grades. +Hätte $p(x)$ ein mehrfache Nullstelle $x_0$, müsste es durch $(x-x_0)^2$ +teilbar sein, man könnte also einen Faktor $(x-x_0)$ aus der +Wurzel im Integraneden von \eqref{buch:elliptisch:def:allgemein} +ausklammern und damit das Integral in eine Form bringen, wo $p(x)$ +höchstens zweiten Grades ist. +Solche Integrale lassen sich meistens mit trigonometrischen Substitutionen +berechnen. +Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat. + +Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von +elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen +der folgenden Form überführen lassen. + +\begin{definition} +\label{buch:elliptisch:def:integrale123} +Die elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art sind die +Integrale +\[ +\begin{aligned} +\text{1.~Art:}&&& +\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} +\\ +\text{2.~Art:}&&& +\int \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}\,dx +\\ +\text{3.~Art:}&&& +\int \frac{dx}{(1-nx^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} +\end{aligned} +\] +mit $0<k<1$. +Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden. +\end{definition} + +Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine +geschlossenen Formen finden. +Es bleibt uns daher nichts anderes übrig, als die Integralgrenzen +festzulegen und damit eine Stammfunktion auszuwählen. + +% +% Elliptisches Integral +% +\subsection{Vollständige elliptische Integrale +\label{buch:elliptisch:subsection:vollstaendig}} +In diesem Abschnitt legen wir beide Integrationsgrenzen fest und +untersuchen die entstehenenden Funktionen von den Parametern +$k$ und $n$. + +\subsubsection{Definition der vollständigen elliptischen Integrale} +Da der Nenner in allen drei elliptischen Integralen eine Nullstelle +bei $\pm1$ hat, kann das Integral nur von $0$ bis $1$ erstreckt werden. + +\begin{definition} +\label{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123} +Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter +Art sind +\[ +\begin{aligned} +\text{1.~Art:}&& +K(k)&=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \\ +\text{2.~Art:}&& +E(k)&=\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt \\ +\text{3.~Art:}&& +\Pi(n, k)&=\int_0^1\frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +\end{aligned} +\] +mit $0<k<1$. +\end{definition} + +Die Funktionen hängen stetig von $k$ ab. +Die Nullstellen des Faktors $1-k^2x^2$ liegen ausserhalb des +Integrationsintervalls und spielen daher keine Rolle. +Die Werte von $K(k)$ und $E(k)$ für $k=0$ können direkt berechnet +werden: +\begin{align*} +K(0) += +E(0) +&= +\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi}2. +\end{align*} +Das Integral $\Pi(n,0)$ ist etwas komplizierter. + +Für $k\to 1$ ist $E(k)=1$, die Integrale $K(1)$ und $\Pi(n,1)$ +sind dagegen divergent. + +\subsubsection{Jacobi- und Legendre-Normalform} +Die Integrationsvariable $t$ der vollständigen elliptischen Integrale +kann durch die Substitution $t=\sin\varphi$ durch die Variable +$\varphi$ und das Integral über das Intervall $[0,1]$ durch ein +Integral über das Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ ersetzt werden. +Mit +\[ +\frac{dt}{d\varphi} = \cos\varphi = \sqrt{1-\sin^2\varphi} +\] +können die Funktionen $K(k)$, $E(k)$ und $\Pi(n,k)$ auch als +\begin{align*} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{ +\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi +}{ +\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)} +} += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} +\\ +E(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi +\\ +\Pi(n,k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{ +\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi +}{ +(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)} +} += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{ +d\varphi +}{ +(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} +} +\end{align*} +Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen +\index{Legendre-Normalform}% +elliptischen Integrale genannt, während die Form von +Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123} +die {\em Jacobi-Normalform} heisst. +\index{Jacobi-Normalform}% + + +\subsubsection{Komplementäre Integrale} +XXX Komplementäre Integrale \\ + +\subsubsection{Ableitung} +XXX Ableitung \\ +XXX Stammfunktion \\ + +\subsection{Unvollständige elliptische Integrale} +XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\ +XXX Additionstheoreme \\ +XXX Parameterkonventionen \\ + +\subsection{Potenzreihe} +XXX Potenzreihen \\ +XXX Als hypergeometrische Funktionen \\ + + |