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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 1e35616..b0e1b64 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren. \subsection{Definition \label{buch:elliptisch:subsection:definition}} -Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form +Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form +\index{elliptishes Integral}% +\index{Integral, elliptisch}% \begin{equation} \int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx \label{buch:elliptisch:def:allgemein} @@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen -der folgenden Form überführen lassen. +der folgenden Form überführen lassen +\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}. \begin{definition} \label{buch:elliptisch:def:integrale123} @@ -133,7 +136,7 @@ K(k) E(k) &= \int_0^{\frac{\pi}2} -\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi +\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi = \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi @@ -161,6 +164,69 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123} die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \index{Jacobi-Normalform}% +\subsubsection{Umfang einer Ellipse} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf} +\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität +$\varepsilon$. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}} +\end{figure} +Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse +mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches +Integral zurückführen lässt. +Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten +vertauscht werden. + +Die Parametrisierung +\[ +t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix} +\] +einer Ellipse führt auf das Integral +\begin{align*} +U +&= +\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt +\notag +\\ +&= +4\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)} +\,dt +\notag +\\ +&= +4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt +\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} +\end{align*} +für den Umfang der Ellipse. +Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg, +der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$. +Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse, +\index{lineare Exzentrizität}% +der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse +genannt. +Insbesondere ist $k = \varepsilon$. + +Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die +Form +\[ +U += +4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt +\] +und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt. +Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel +\[ +U += +4b E(k) += +4b E(\varepsilon). +\] +Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$ +liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit +numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$. \subsubsection{Komplementäre Integrale} XXX Komplementäre Integrale \\ |