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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 3acce2f..bc597d6 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -355,9 +355,9 @@ K(k) dies beweist die Behauptung. \end{proof} - - - +% +% Umfang einer Ellipse +% \subsubsection{Umfang einer Ellipse} \begin{figure} \centering @@ -451,13 +451,20 @@ Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden werden. \end{proof} +% +% +% \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} XXX Ableitung \\ XXX Stammfunktion \\ -\subsection{Unvollständige elliptische Integrale} +% +% Unvollständige elliptische Integrale +% +\subsection{Unvollständige elliptische Integrale +\label{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}} Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein festes Intervall definiert. Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die @@ -522,12 +529,18 @@ Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale} zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene Werte des Parameters. +% +% Symmetrieeigenschaften +% \subsubsection{Symmetrieeigenschaften} Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$. Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher ungeraden Funktionen von $x$. +% +% Elliptische Integrale als komplexe Funktionen +% \subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen} Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren. @@ -541,7 +554,11 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$ XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ +% +% Wertebereich +% \subsubsection{Wertebereich} +\label{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich} Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen haben nur positive relle Werte. Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art |