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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index e1fbc00..166ea41 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -22,1743 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. -%% -%% elliptische Funktionen als Trigonometrie -%% -%\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -%\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -%elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -%auf einer Ellipse. -%\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -%\end{figure} -%% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -%% https://youtu.be/DCXItCajCyo -% -%% -%% Geometrie einer Ellipse -%% -%\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -%Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -%\index{Ellipse}% -%der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -%den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -%\index{Brennpunkt}% -%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -%mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -%die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -%Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -%Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -%Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -%haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -%Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -%also $a$ sein. -%Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -%\[ -%b^2+e^2=a^2 -%\qquad\Rightarrow\qquad -%e^2 = a^2-b^2 -%\] -%sein muss. -%Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -%Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -%der Ellipse. -% -%% -%% Die Ellipsengleichung -%% -%\subsubsection{Ellipsengleichung} -%Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\overline{PF_1}^2 -%&= -%y^2 + (x+e)^2 -%\\ -%\overline{PF_2}^2 -%&= -%y^2 + (x-e)^2 -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -%\end{equation} -%von den Brennpunkten, für die -%\begin{equation} -%\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -%= -%2a -%\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -%\end{equation} -%gelten muss. -%Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -%\[ -%\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -%\] -%erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -%erfüllt. -%Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -%$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -%Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -%\[ -%l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -%\] -%Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -%auf die rechte Seite und quadriert. -%Man muss also verifizieren, dass -%\[ -%(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -%\] -%In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -%\[ -%y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -%\] -%substituieren. -%Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -%Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. -% -%% -%% Normierung -%% -%\subsubsection{Normierung} -%Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -%von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -%Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -%kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -%Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. -% -%Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -%weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -%mindestens eine mit Halbeachse $1$. -%Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -%Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -%Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -%In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -%zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. -% -%Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -%$\varepsilon$ auch mit -%\[ -%k -%= -%\varepsilon -%= -%\frac{e}{a} -%= -%\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -%= -%\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -%\] -%die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -%Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -%findet man -%\[ -%k^2a^2 = a^2-1 -%\quad\Rightarrow\quad -%1=a^2(k^2-1) -%\quad\Rightarrow\quad -%a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -%\] -% -%Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -%\[ -%\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -%\qquad\text{oder}\qquad -%x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -%\] -% -%% -%% Definition der elliptischen Funktionen -%% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -%\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -%an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -%\end{figure} -%\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -%Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -%können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -%Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -%Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -%Radiusvektor zum Punkt $P$ -%darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -%ausnützen möchten. -%Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -%noch unbestimmte Argument $u$. -%Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. -% -%Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -%vom Modulus ab. -%Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -%wir das $k$-Argument weg. -% -%Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -%Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -%des Kreises. -%Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -%die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. -% -%In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -%die Funktionen -%\[ -%\begin{aligned} -%&\text{sinus amplitudinis:}& -%{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -%&\text{cosinus amplitudinis:}& -%{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -%&\text{delta amplitudinis:}& -%{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -%\end{aligned} -%\] -%die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -%dargestellt sind. -%Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -%\[ -%\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -%\] -%ist. -%Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -%berechnen, also gilt -%\begin{equation} -%r^2 -%= -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%x^2 + y^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -%\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -%\end{equation} -%Ersetzt man -%$ -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%= -%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -%$, ergibt sich -%\[ -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -%+ -%\operatorname{sn}(u,k)^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%\operatorname{dn}(u,k)^2 -%+ -%\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -%= -%1, -%\] -%woraus sich die Identität -%\[ -%\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -%\] -%ergibt. -%Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -%die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -%\[ -%a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -%= -%(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+1. -%\] -%Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -%\begin{align*} -%\operatorname{dn}(u,k)^2 -%- -%k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%&= -%\frac{1}{a^2} -%= -%\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -%= -%1-k^2 =: k^{\prime 2}. -%\end{align*} -%Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\operatorname{sn}^2(u,k) -%+ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%1 -%\\ -%\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -%&= -%1 -%\\ -%\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%k^{\prime 2}. -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%\end{equation} -%zusammen. -%So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -%ist es mit -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -%jede anderen auszudrücken. -%Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -%zusammengestellt. -% -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -%\hline -%&\operatorname{sn}(u,k) -%&\operatorname{cn}(u,k) -%&\operatorname{dn}(u,k)\\ -%\hline -%\operatorname{sn}(u,k) -%&\operatorname{sn}(u,k) -%&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -%&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) -%&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -%&\operatorname{cn}(u,k) -%&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) -%&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -%&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -%&\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -%unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%durch jede andere ausdrücken. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -%\end{table} -% -%% -%% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Ableitung} -%Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -%für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -%Beziehungen -%\[ -%\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -%\qquad\text{und}\qquad -%\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -%\] -%erfüllen. -%So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -%durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -%Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -%sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. -% -%Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -%Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -%Ableitungsformeln ergeben. -%Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -%ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -%$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -%Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -%\begin{align*} -%\frac{dy}{d\varphi} -%&= -%\cos\varphi -%= -%\frac{1}{a} x -%= -%\operatorname{cn}(u,k) -%\\ -%\frac{dx}{d\varphi} -%&= -%-a\sin\varphi -%= -%-a y -%= -%-a\operatorname{sn}(u,k). -%\end{align*} -%Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -%elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -%\begin{align*} -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -%&= -%\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -%= -%\cos\varphi -%= -%\frac{x}{a} -%= -%\operatorname{cn}(u,k) -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du} -%\operatorname{sn}(u,k) -%&= -%\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -%\\ -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -%&= -%\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -%= -%-\sin\varphi -%= -%-\operatorname{sn}(u,k) -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -%\\ -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -%&= -%\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -%= -%\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -%%\\ -%%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -%+ -%\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -%%\\ -%%& -%= -%\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -%+ -%\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -%$} -%\\ -%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%\frac{x}{ar}(-ay) -%+ -%\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -%%\rlap{$\displaystyle -%= -%\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -%%$} -%%\\ -%%& -%= -%-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -%$} -%\\ -%&= -%-\frac{a^2-1}{ar} -%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -%%\\ -%%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%-k^2 -%\frac{a}{r} -%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -%$} -%\\ -%&= -%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -%\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\frac{d\varphi}{du}. -%\end{align*} -%Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -%wählt, dass -%\[ -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\operatorname{dn}(u,k) -%= -%\frac{r}{a}. -%\] -%Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -% -%\begin{satz} -%\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} -%Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -%&= -%\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} -%\end{equation} -%\end{satz} -% -%% -%% Der Grenzfall $k=1$ -%% -%\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -%\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -%für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -%\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -%\end{figure} -%Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -%Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%\[ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%- -%k^2 -%\operatorname{dn}^2(u,k) -%= -%k^{\prime2} -%= -%0 -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\operatorname{cn}^2(u,1) -%= -%\operatorname{dn}^2(u,1), -%\] -%die beiden Funktionen -%$\operatorname{cn}(u,k)$ -%und -%$\operatorname{dn}(u,k)$ -%fallen also zusammen. -%Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -%\begin{align*} -%\operatorname{sn}'(u,1) -%&= -%\operatorname{cn}(u,1) -%\operatorname{dn}(u,1) -%= -%\operatorname{cn}^2(u,1) -%= -%1-\operatorname{sn}^2(u,1) -%&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -%\\ -%\operatorname{cn}'(u,1) -%&= -%- -%\operatorname{sn}(u,1) -%\operatorname{dn}(u,1) -%= -%- -%\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -%&&\Rightarrow& -%\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -%\end{align*} -%Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -%die Lösung -%\[ -%\frac{y'}{1-y^2} -%= -%1 -%\quad\Rightarrow\quad -%\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -%\quad\Rightarrow\quad -%\operatorname{artanh}(y) = u -%\quad\Rightarrow\quad -%\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -%\] -%Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -%\begin{align*} -%(\log \operatorname{cn}(u,1))' -%&= -%\tanh u -%&&\Rightarrow& -%\log\operatorname{cn}(u,1) -%&= -%-\int\tanh u\,du -%= -%-\log\cosh u -%\\ -%& -%&&\Rightarrow& -%\operatorname{cn}(u,1) -%&= -%\frac{1}{\cosh u} -%= -%\operatorname{sech}u. -%\end{align*} -%Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -%dargestellt. -% -%% -%% Das Argument u -%% -%\subsubsection{Das Argument $u$} -%Die Gleichung -%\begin{equation} -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\operatorname{dn}(u,k) -%\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -%\end{equation} -%ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -%die geometrische Bedeutung zu klären. -%Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -%Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -%ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -%Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -%\begin{equation} -%\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -%\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -%\end{equation} -% -%Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -%dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -%$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -%Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -%\[ -%\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -%= -%\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -%werden, sie ist -%\[ -%\frac{d\vartheta}{d\varphi} -%= -%\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -%= -%\frac{1}{a}\cdot -%\frac{a^2}{r^2} -%= -%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -%\] -%Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -%Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -%\[ -%\frac{d\vartheta}{du} -%= -%\frac{d\vartheta}{d\varphi} -%\cdot -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -%\cdot -%\operatorname{dn}(u,k) -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot\frac{a}{r} -%= -%\frac{1}{r}, -%\] -%wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -%verwendet haben. -% -%In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -%von $u$ nach $t$ berechnen als -%\[ -%\frac{du}{dt} -%= -%\frac{du}{d\vartheta} -%\frac{d\vartheta}{dt} -%= -%r -%\dot{\vartheta}. -%\] -%Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -%das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -%von $O$. -%$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -%$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -%Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -%\[ -%u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -%\] -%Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -%auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -%$u(P)=\vartheta(P)$ ist. -% -%% -%% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen -%% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -%\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -%$\operatorname{sn}(u,k)$, -%$\operatorname{cn}(u,k)$ -%udn -%$\operatorname{dn}(u,k)$ -%geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -%des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -%\end{figure} -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -%\hline -%\cdot & -%\frac{1}{1} & -%\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\[5pt] -%\hline -%1& -%&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -%\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -%\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -%\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{sn}(u,k) & -%\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -%&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) & -%\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -%\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) & -%\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -%\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\[5pt] -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -%Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen. -%Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen. -%\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -%\end{table} -%\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -%Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -%lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -%die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -%Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -%$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -%$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -%die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -%Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -%Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -%ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -%der Nenner durch den Buchstaben q. -%Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -%die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -%Funktionen. -%Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -%man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. -% -%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -%geometrisch interpretiert. -%Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -%mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -%Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -%Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -%Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. -% -%Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -%andere auszudrücken. -%Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -%übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -%nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: -% -%\begin{beispiel} -%Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -%ausgedrückt werden. -%Zunächst ist -%\[ -%\operatorname{sc}(u,k) -%= -%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%\] -%nach Definition. -%Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -%$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -%Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -%mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -%\begin{equation} -%\operatorname{sc}(u,k) -%= -%\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -%\end{equation} -%Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -%$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -%Aus der Definition und der -%dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%erhält man -%\begin{align*} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%&= -%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -%= -%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -%\\ -%\Rightarrow -%\qquad -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%+ -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%\frac{ -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%}{ -%1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%} -%\end{align*} -%Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -%\[ -%1-\operatorname{cn}^2(u,k) -%= -%\frac{ -%1 -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%- -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%}{ -%1 -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%} -%= -%\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -%\] -%Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -%\begin{align*} -%\operatorname{sc}(u,k) -%&= -%\frac{ -%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -%\cdot -%\frac{ -%\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{ -%k' -%\operatorname{cd}(u,k) -%} -%= -%\frac{ -%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{ -%k' -%\operatorname{cd}(u,k) -%}. -%\qedhere -%\end{align*} -%\end{beispiel} -% -%\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -%Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -%können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -%abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -%Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -%Sie ist -%\begin{align*} -%\frac{d}{du} -%\operatorname{sc}(u,k) -%&= -%\frac{d}{du} -%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%= -%\frac{ -%\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -%- -%\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%\\ -%&= -%\frac{ -%\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%+ -%\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%= -%\frac{( -%\operatorname{sn}^2(u,k) -%+ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%)\operatorname{dn}(u,k)}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%\\ -%&= -%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -%\cdot -%\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%= -%\operatorname{nc}(u,k) -%\operatorname{dc}(u,k). -%\end{align*} -%Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -%der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -%beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -%die Funktion, die abgeleitet wird. -% -%Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -%\begin{equation} -%%\small -%\begin{aligned} -%\operatorname{sn}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -%&&\qquad& -%\operatorname{ns}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -%&&& -%\operatorname{nc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -%\\ -%\operatorname{dn}'(u,k) -%&= -%-k^2 -%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -%&&& -%\operatorname{nd}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%k^2 -%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -%\\ -%\operatorname{sc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -%&&& -%\operatorname{cs}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -%\\ -%\operatorname{cd}'(u,k) -%&= -%-k^{\prime2} -%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -%&&& -%\operatorname{dc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%k^{\prime2} -%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -%\\ -%\operatorname{ds}'(d,k) -%&= -%- -%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -%&&& -%\operatorname{sd}'(d,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -%\end{equation} -%finden. -%Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -%zweiten Buchstaben haben. -% -%\subsubsection{TODO} -%XXX algebraische Beziehungen \\ -%XXX Additionstheoreme \\ -%XXX Perioden -%% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic -% -% -%XXX Ableitungen \\ -%XXX Werte \\ -%% -%% Lösung von Differentialgleichungen -%% -%\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen -%\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} -%Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -%Differentialgleichungen in geschlossener Form. -%Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -%\( -%\dot{x}(t)^2 -%= -%P(x(t)) -%\) -%mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder -%\( -%\ddot{x}(t) -%= -%p(x(t)) -%\) -%mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. -% -%% -%% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -%Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -%können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -%finden. -%Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -%man -%\[ -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -%= -%\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -%\] -%Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -%ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung -%\begin{align*} -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -%&= -%\bigl( -%1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\bigl( -%1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\\ -%&= -%k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 -%-(1+k^2) -%\operatorname{sn}(u,k)^2 -%+1. -%\end{align*} -%Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung -%\begin{align*} -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -%&= -%\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%\\ -%&= -%\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\\ -%&= -%-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -%+ -%(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+ -%k^{\prime 2} -%\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -%\\ -%\biggl( -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%\biggr)^2 -%&= -%\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -%\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\\ -%&= -%\bigl( -%1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\bigl( -%\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} -%\bigr) -%\\ -%&= -%-\operatorname{dn}(u,k)^4 -%+ -%(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 -%-k^{\prime 2}. -%\end{align*} -% -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{1.7} -%\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} -%\hline -%\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ -%\hline -%\operatorname{sn}(u,k) -% & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) -% &k^2&1+k^2&1 -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) -% &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) -% & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) -% &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} -%\\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -%nichtlineare Differentialgleichungen der Art -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -%Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -%entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -%muss. -%\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -%\end{table} -% -%Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle -%einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -%Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -%Die Differentialgleichungen sind in der -%Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. -% -%% -%% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen -%Funktionen} -%Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -%Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder -%durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, -%dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung -%genügen. -%Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, -%wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. -%Für -%$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ -%$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ -%und -%$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ -%wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass -%$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung -%der Form -%\begin{equation} -%\operatorname{pq}'(u,k)^2 -%= -%\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma -%\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%\end{equation} -%erfüllt, -%wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von -%$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -%Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -%ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen -%sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} -%zusammengestellt. -% -%Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt -%werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die -%Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen -%Funktion ermitteln. -% -%% -%% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} -%Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine -%Differentialgleichung für den Kehrwert -%$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ -%ableiten. -%Dazu rechnet man -%\[ -%\operatorname{qp}'(u,k) -%= -%\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} -%= -%\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\left\{ -%\quad -%\begin{aligned} -%\operatorname{pq}(u,k) -%&= -%\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{pq}'(u,k) -%&= -%\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} -%\end{aligned} -%\right. -%\] -%und setzt in die Differentialgleichung ein: -%\begin{align*} -%\biggl( -%\frac{ -%\operatorname{qp}'(u,k) -%}{ -%\operatorname{qp}(u,k) -%} -%\biggr)^2 -%&= -%\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} -%+ -%\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} -%+ -%\gamma. -%\end{align*} -%Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den -%folgenden Satz. -% -%\begin{satz} -%Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -%der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert -%$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung -%\begin{equation} -%(\operatorname{qp}'(u,k))^2 -%= -%\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 -%+ -%\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 -%+ -%\alpha -%\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} -%\end{equation} -%\end{satz} -% -%\begin{table} -%\centering -%\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} -%\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} -%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} -%\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} -%\cline{1-4} -%\lfn{Funktion} -% & \alpha & \beta & \gamma &\\ -%\hline -%\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ -%\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ -%\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ -%\hline -%\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ -%\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ -%\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ -%\hline -% & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ -%\cline{2-5} -%\end{tabular} -%\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen -%elliptischen Funktionen. -%Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der -%ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ -%vertauscht worden sind. -%\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} -%\end{table} -% -%% -%% Differentialgleichung zweiter Ordnung -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -%Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -%\[ -%2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) -%= -%4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). -%\] -%Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, -%bleibt die nichtlineare -%Differentialgleichung -%\[ -%\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} -%= -%\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. -%\] -%Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -%Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. -% -% -% -%% -%% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale -%% -%\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -%Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -%zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -%Zusammenhang zwischen den Funktionen -%$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -%und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -%Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -%\begin{equation} -%\biggl( -%\frac{d y}{d u} -%\biggr)^2 -%= -%p(u), -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%\end{equation} -%wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -%Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -%Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -%Wurzel -%\begin{align} -%\frac{dy}{du} -%= -%\sqrt{p(y)} -%\notag -%\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -%\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -%\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -%\end{align} -%Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -%von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -%das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -%Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -%Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%ist daher -%\[ -%y(u) = F^{-1}(u+C). -%\] -%Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -%der unvollständigen elliptischen Integrale. -% -% -%% -%% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -%Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -%\begin{equation} -%\biggl( -%\frac{dx}{dt} -%\biggr)^2 -%= -%Ax^4+Bx^2 + C -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%\end{equation} -%mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -%Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -%\begin{equation} -%x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -%\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -%\end{equation} -%ist. -%Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -%\[ -%\dot{x}(t) -%= -%a\operatorname{zn}'(bt,k). -%\] -% -%Indem wir diesen Lösungsansatz in die -%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%einsetzen, erhalten wir -%\begin{equation} -%a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -%= -%a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+C -%\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -%\end{equation} -%Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -%Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%erfüllt. -%Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -%die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -%Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -%\[ -%\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+\frac{C}{a^2b^2} -%= -%\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+ -%\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -%\] -%Daraus ergeben sich die Gleichungen -%\begin{align} -%\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -%& -%\beta &= \frac{B}{b^2} -%&&\text{und} -%& -%\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -%Differentialgleichung} -%A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -%& -%B&=\beta b^2 -%&&\text{und}& -%C &= \gamma a^2b^2 -%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -%\end{align} -%für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -%Funktion. -% -%Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -%Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -%$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -%wird, die immer positiv sind. -%Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. -% -%In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -%es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -%Es folgt, dass die Gleichungen -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%auch $a$ und $b$ bestimmen. -%Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -%\[ -%b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -%\] -%Damit folgt dann aus der zweiten -%\[ -%a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -%\] -%Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -%Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -%Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. -% -%\begin{beispiel} -%Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -%Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -%dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -%werden muss. -%Die Tabelle sagt dann auch, dass -%$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -%Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%folgt dann der Reihe nach -%\begin{align*} -%b&=\pm \sqrt{B} -%\\ -%a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -%\\ -%k^2 -%&= -%\frac{AC}{B^2}. -%\end{align*} -%Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -%auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -%erhalten kann, nämlich -%\[ -%\frac{AC}{B^2} -%= -%\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -%= -%\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -%\qedhere -%\] -%\end{beispiel} -% -%Da alle Parameter im -%Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -%festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -%Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -%Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -%autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -%sind nicht von der Zeit abhängig. -%Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -%Lösung der Differentialgleichung. -%Die allgmeine Lösung der -%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -%also die Form -%\[ -%x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -%\] -%wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -%von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -%% -%% Das mathematische Pendel -%% -%\subsection{Das mathematische Pendel -%\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -%\caption{Mathematisches Pendel -%\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -%\end{figure} -%Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -%Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -%im Punkt $P$, -%der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -%verbunden ist. -%Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. -% -%Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -%\( -%I=ml^2 -%\). -%Das Drehmoment der Schwerkraft ist -%\(M=gl\sin\vartheta\). -%Die Bewegungsgleichung wird daher -%\[ -%\begin{aligned} -%\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -%&= -%M -%= -%gl\sin\vartheta -%\\ -%ml^2\ddot{\vartheta} -%&= -%gl\sin\vartheta -%&&\Rightarrow& -%\ddot{\vartheta} -%&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -%\end{aligned} -%\] -%Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -%wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -%der elliptischen Funktionen vergleichen können. -% -%Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -%enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -%In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -%enthält. -%Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -%Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -%Dies führt auf -%\[ -%E_{\text{kinetisch}} -%+ -%E_{\text{potentiell}} -%= -%\frac12I\dot{\vartheta}^2 -%+ -%mgl(1-\cos\vartheta) -%= -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -%+ -%mgl(1-\cos\vartheta) -%= -%E -%\] -%Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -%Differentialgleichung -%\[ -%\dot{\vartheta}^2 -%= -%- -%\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -%+\frac{2E}{ml^2} -%\] -%finden. -%In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -%Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -%tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -%elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -%Lösung konstruieren. -% -%Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -%über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -%$E=2lmg$. -%Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -%der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -%bleibt. -%Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -%Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -%höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. -% -%% -%% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen -%% -%\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -%Wir verwenden als neue Variable -%\[ -%y = \sin\frac{\vartheta}2 -%\] -%mit der Ableitung -%\[ -%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. -% -%Aus den Halbwinkelformeln finden wir -%\[ -%\cos\vartheta -%= -%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -%= -%1-2y^2. -%\] -%Dies können wir zusammen mit der -%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -%\[ -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -%\] -%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. -% -%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -%Wir erhalten -%\begin{align*} -%\frac14 -%\cos^2\frac{\vartheta}2 -%\cdot -%\dot{\vartheta}^2 -%&= -%\frac14 -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -%\\ -%\dot{y}^2 -%&= -%\frac{1}{4} -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -%\end{align*} -%Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -%für elliptische Funktionen. -%Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -%Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -%Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -%zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -%$1$ sein muss. -% -%% -%% Der Fall E < 2mgl -%% -%\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -%\caption{% -%Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -%verschiedene Werte von $k^2=m$. -%Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -%$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -%sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -%Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -%von den trigonometrischen Funktionen ab, -%es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -%Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -%Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -%die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -%erreichen kann, was es für $m$ macht. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -%\end{figure} -% -% -%Wir verwenden als neue Variable -%\[ -%y = \sin\frac{\vartheta}2 -%\] -%mit der Ableitung -%\[ -%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. -% -%Aus den Halbwinkelformeln finden wir -%\[ -%\cos\vartheta -%= -%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -%= -%1-2y^2. -%\] -%Dies können wir zusammen mit der -%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -%\[ -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -%\] -%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -%Wir erhalten -%\begin{align*} -%\frac12ml^2 -%\cos^2\frac{\vartheta}2 -%\dot{\vartheta}^2 -%&= -%(1-y^2) -%(E -mgly^2) -%\\ -%\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -%&= -%\frac{1}{2} -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -%\\ -%\dot{y}^2 -%&= -%\frac{E}{2ml^2} -%(1-y^2)\biggl( -%1-\frac{2gml}{E}y^2 -%\biggr). -%\end{align*} -%Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -%Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -%mit $k^2 = 2gml/E< 1$. -% -%%% -%%% Der Fall E > 2mgl -%%% -%%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -%%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -%%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -%%Indem wir die Gleichung -% -% -%%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} -% -%%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -%%XXX Möbius-Transformation \\ -%%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen |