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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..0ca1392
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,11 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 11
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/jacobi.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
+	chapters/110-geometrie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..4f74408
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% chapter.tex -- Beschreibung des Inhaltes
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Elliptische Funktionen
+\label{buch:chapter:geometrie}}
+\lhead{Elliptische Funktionen}
+\rhead{}
+
+Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat
+in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet
+werden können.
+Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich
+aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
+
+\input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e35616
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% ellintegral.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:section:integral}}
+\rhead{Elliptisches Integral}
+Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in 
+Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener
+Form ausdrücken liess.
+Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als
+neue spezielle Funktionen zu definieren.
+
+\subsection{Definition
+\label{buch:elliptisch:subsection:definition}}
+Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form
+\begin{equation}
+\int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx
+\label{buch:elliptisch:def:allgemein}
+\end{equation}
+wobei $R(x,y)$ eine rationale Funktion von zwei Variablen ist und
+$p(x)$ ein Polynom dritten oder vierten Grades.
+Hätte $p(x)$ ein mehrfache Nullstelle $x_0$, müsste es durch $(x-x_0)^2$
+teilbar sein, man könnte also einen Faktor $(x-x_0)$ aus der
+Wurzel im Integraneden von \eqref{buch:elliptisch:def:allgemein}
+ausklammern und damit das Integral in eine Form bringen, wo $p(x)$
+höchstens zweiten Grades ist.
+Solche Integrale lassen sich meistens mit trigonometrischen Substitutionen
+berechnen.
+Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
+
+Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von
+elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen 
+der folgenden Form überführen lassen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:elliptisch:def:integrale123}
+Die elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art sind die
+Integrale
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&&
+\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
+\\
+\text{2.~Art:}&&&
+\int \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}\,dx
+\\
+\text{3.~Art:}&&&
+\int \frac{dx}{(1-nx^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
+\end{aligned}
+\]
+mit $0<k<1$.
+Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden.
+\end{definition}
+
+Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine 
+geschlossenen Formen finden.
+Es bleibt uns daher nichts anderes übrig, als die Integralgrenzen
+festzulegen und damit eine Stammfunktion auszuwählen.
+
+%
+% Elliptisches Integral
+%
+\subsection{Vollständige elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:subsection:vollstaendig}}
+In diesem Abschnitt legen wir beide Integrationsgrenzen fest und
+untersuchen die entstehenenden Funktionen von den Parametern
+$k$ und $n$.
+
+\subsubsection{Definition der vollständigen elliptischen Integrale}
+Da der Nenner in allen drei elliptischen Integralen eine Nullstelle
+bei $\pm1$ hat, kann das Integral nur von $0$ bis $1$ erstreckt werden.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
+Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter
+Art sind
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&
+K(k)&=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \\
+\text{2.~Art:}&&
+E(k)&=\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt \\
+\text{3.~Art:}&&
+\Pi(n, k)&=\int_0^1\frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} 
+\end{aligned}
+\]
+mit $0<k<1$.
+\end{definition}
+
+Die Funktionen hängen stetig von $k$ ab.
+Die Nullstellen des Faktors $1-k^2x^2$ liegen ausserhalb des
+Integrationsintervalls und spielen daher keine Rolle.
+Die Werte von $K(k)$ und $E(k)$ für $k=0$ können direkt berechnet
+werden:
+\begin{align*}
+K(0)
+=
+E(0)
+&=
+\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Das Integral $\Pi(n,0)$ ist etwas komplizierter.
+
+Für $k\to 1$ ist $E(k)=1$, die Integrale $K(1)$ und $\Pi(n,1)$
+sind dagegen divergent.
+
+\subsubsection{Jacobi- und Legendre-Normalform}
+Die Integrationsvariable $t$ der vollständigen elliptischen Integrale
+kann durch die Substitution $t=\sin\varphi$ durch die Variable
+$\varphi$ und das Integral über das Intervall $[0,1]$ durch ein
+Integral über das Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ ersetzt werden.
+Mit
+\[
+\frac{dt}{d\varphi} = \cos\varphi = \sqrt{1-\sin^2\varphi}
+\]
+können die Funktionen $K(k)$, $E(k)$ und $\Pi(n,k)$ auch als
+\begin{align*}
+K(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
+}{
+\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)}
+}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
+\\
+E(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi
+\\
+\Pi(n,k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
+}{
+(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)}
+}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+d\varphi
+}{
+(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}
+}
+\end{align*}
+Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen 
+\index{Legendre-Normalform}%
+elliptischen Integrale genannt, während die Form von
+Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
+die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
+\index{Jacobi-Normalform}%
+
+
+\subsubsection{Komplementäre Integrale}
+XXX Komplementäre Integrale \\
+
+\subsubsection{Ableitung}
+XXX Ableitung \\
+XXX Stammfunktion \\
+
+\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
+XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Parameterkonventionen \\
+
+\subsection{Potenzreihe}
+XXX Potenzreihen \\
+XXX Als hypergeometrische Funktionen \\
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..ef2e6fc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -0,0 +1,10 @@
+#
+# Makefile -- make images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	lemniskate.pdf
+
+lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
+	pdflatex lemniskate.tex
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
new file mode 100644
index 0000000..063a3e1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
new file mode 100644
index 0000000..f74a81f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% lemniskate.tex -- Lemniskate
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{4}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[color=red,line width=1.0pt]
+	plot[domain=-45:45,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+\draw[color=red,line width=1.0pt]
+	plot[domain=135:225,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+
+\def\a{18}
+\def\b{39}
+
+\draw[->,color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))});
+
+\draw[color=red,line width=2.0pt]
+	plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+
+\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02];
+\draw (1,0) circle[radius=0.02];
+\fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02];
+\draw (-1,0) circle[radius=0.02];
+
+\node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$};
+\node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$};
+
+\fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
+\draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
new file mode 100644
index 0000000..d3e5d62
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% jacobi.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Jacobisch elliptische Funktionen
+\label{buch:elliptisch:section:jacobi}}
+\rhead{Jacobische elliptische Funktionen}
+
+\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+XXX als elliptische Integrale \\
+XXX algebraische Beziehungen \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Perioden
+% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
+
+\subsection{Elliptische Funktionen und elliptische Integrale}
+XXX Ableitungen \\
+XXX Werte \\
+
+\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
+XXX Differentialgleichung \\
+XXX Mathematisches Pendel \\
+
+\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
+
+\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
+XXX Möbius-Transformation \\
+XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4ad019
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -0,0 +1,171 @@
+%
+% lemniskate.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Lemniskatischer Sinus
+\label{buch:elliptisch:section:lemniskate}}
+\rhead{Lemniskatischer Sinus}
+Historisch war der {\em lemniskatische Sinus} die erste ellptische
+Funktion, die Gauss bereits als 19-jähriger untersucht, aber nicht 
+veröffentlich hat.
+In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen
+elliptischen Funktionen hergestellt werden.
+
+\subsection{Lemniskate
+\label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf}
+\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
+\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
+\end{figure}
+Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
+\begin{equation}
+(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2).
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+\end{equation}
+Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
+dargestellt.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$.
+
+In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
+gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+\begin{equation}
+r^4
+=
+2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
+=
+2a^2r^2\cos2\varphi
+\qquad\Rightarrow\qquad
+r^2 = 2a^2\cos 2\varphi
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar}
+\end{equation}
+als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung.
+Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
+rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
+Blatt der Lemniskate.
+
+Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung
+verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$.
+Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate
+wird dann zu
+\[
+(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2).
+\]
+
+\subsubsection{Bogelänge}
+Die Funktionen
+\begin{equation}
+x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+\quad
+y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+\label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+\end{equation}
+erfüllen
+\begin{align*}
+x(r)^2-y(r)^2
+&=
+\frac{r^2(1+r^2)}{2}-\frac{r^2(1-r^2)}{2}
+\\
+&
+=
+r^4
+=
+(x(r)^2 + y(r)^2)^2,
+\end{align*}
+sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
+
+Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
+dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen.
+Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und
+Kettenregel berechnen kann:
+\begin{align*}
+\dot{x}(r)
+&=
+\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
++
+\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+&&\Rightarrow&
+\dot{x}(r)^2
+&=
+\frac{1+r^2}{2} +r^2 + \frac{r^4}{2(1+r^2)}
+\\
+\dot{y}(r)
+&=
+\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+-
+\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
+&&\Rightarrow&
+\dot{y}(r)^2
+&=
+\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}
+\end{align*}
+Die Summe der Quadrate ist
+\begin{align*}
+\dot{x}(r)^2 + \dot{y}(r)^2
+&=
+1 + r^4\frac{1-r^2+1+r^2}{2(1+r^2)(1-r^2)}
+=
+1+r^4\frac{2}{2(1-r^4)}
+=
+\frac{1-r^4+r^4}{1-r^4}
+=
+\frac1{1-r^4}.
+\end{align*}
+Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
+\begin{equation}
+s(r)
+=
+\int_0^r
+\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral}
+Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
+$m=-1$ ist
+\[
+F(r,-1)
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+=
+s(r).
+\]
+Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des
+ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des
+Parameters $m$
+
+\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
+Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises.
+Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
+den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
+$r=\operatorname{sl} s$.
+
+Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
+Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
+komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
+dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
+Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
+und hat den numerischen Wert
+\[
+\varphi
+=
+2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+=
+2.6220575542.
+\]
+Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
+$\varpi/2$.
+
+Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$,
+für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$
+die Länge $s$ hat.
+
+
+XXX Algebraische Beziehungen \\
+XXX Ableitungen \\