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| -rw-r--r-- | buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile | 10 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp | 42 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m (renamed from buch/chapters/110-elliptisch/agm.m) | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 34 |
4 files changed, 72 insertions, 16 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile new file mode 100644 index 0000000..e7975e1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile @@ -0,0 +1,10 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +agm: agm.cpp + g++ -O -Wall -g -std=c++11 agm.cpp -o agm `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + ./agm + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp new file mode 100644 index 0000000..fdb0441 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp @@ -0,0 +1,42 @@ +/* + * agm.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <gsl/gsl_sf_ellint.h> + + + +int main(int argc, char *argv[]) { + long double a = 1; + long double b = sqrtl(2.)/2; + if (argc >= 3) { + a = std::stod(argv[1]); + b = std::stod(argv[2]); + } + + { + long double an = a; + long double bn = b; + for (int i = 0; i < 10; i++) { + printf("%d %24.18Lf %24.18Lf %24.18Lf\n", + i, an, bn, a * M_PI / (2 * an)); + long double A = (an + bn) / 2; + bn = sqrtl(an * bn); + an = A; + } + } + + { + double k = b/a; + k = sqrt(1 - k*k); + double K = gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE); + printf(" %24.18f %24.18f\n", k, K); + } + + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm.m b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m index 2f0a1ea..dcb3ad8 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/agm.m +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m @@ -16,5 +16,5 @@ for i = (1:n) a = A; end -E = 2 / (pi * a) +K = pi / (2 * a) diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 970d8fa..79ed91e 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -578,9 +578,9 @@ Gauss hat gefunden, dass die Substitution \end{equation} zu \begin{equation} -\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t} +\frac{dt}{\sqrt{a^2_{\phantom{1}}\cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}} = -\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1} +\frac{dt_1}{\sqrt{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}} \label{buch:elliptisch:agm:dtdt1} \end{equation} führt. @@ -608,7 +608,7 @@ ableiten, es ist \frac{dt}{dt_1} \biggr)^2 = -\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. +\frac{a^2_{\phantom{1}} \cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. \] Man muss also nachprüfen, dass \begin{equation} @@ -618,7 +618,7 @@ Man muss also nachprüfen, dass \frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. \label{buch:elliptisch:agm:deq} \end{equation} -Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\sqrt{ab}$ setzen. +Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\!\sqrt{ab}$ setzen. Ausserdem muss man $\cos^2 t$ durch $1-\sin^2t$ ersetzen und $\sin t$ durch \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}. Auch $\cos^2 t_1$ muss man durch $1-\sin^2t_1$ ersetzt werden. @@ -724,15 +724,19 @@ K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} \subsubsection{Numerisches Beispiel} \begin{table} \centering -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline -n& a_n & b_n \\ +n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ \hline -0 & 1.0000000000000000 & 0.7071067811865476\\ -1 & 0.\underline{8}535533905932737 & 0.\underline{84}08964152537146\\ -2 & 0.\underline{8472}249029234942 & 0.\underline{8472}012667468916\\ -3 & 0.\underline{847213084}8351929 & 0.\underline{8472130847}527654\\ -4 & 0.\underline{847213084793979}2 & 0.\underline{847213084793979}1\\ +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} + 0 & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\ + 1 & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\ + 2 & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\ + 3 & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\ + 4 & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\ +\infty& & & 1.8540746773013719184 +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ \hline \end{tabular} \caption{Die Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels für @@ -747,11 +751,11 @@ Konvergenz der Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels von $1$ und $\sqrt{2}/2$. Mit Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} folgt jetzt \[ -K(\sqrt{2}/2) +K(\!\sqrt{2}/2) = -\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2}/2)} +\frac{\pi}{2M(1,\!\sqrt{2}/2)} = -0.751428163461842. +1.854074677301372. \] Die Berechnung hat nur 4 Mittelwerte, 4 Produkte, 4 Quadratwurzeln und eine Division erfordert. @@ -848,7 +852,7 @@ Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und $\pm 1/\sqrt{n}$ % XXX Additionstheoreme \\ -XXX Parameterkonventionen \\ +% XXX Parameterkonventionen \\ % % Wertebereich |