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diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index 9cc5356..09be355 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -9,5 +9,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ chapters/060-integral/orthogonal.tex \ + chapters/060-integral/legendredgl.tex \ chapters/060-integral/gaussquadratur.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex new file mode 100644 index 0000000..9aeac40 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex @@ -0,0 +1,369 @@ +% +% legendredgl.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten +Polynomen gefunden. +Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen. +In diesem Abschnitt sollen diese Funktionen mit der Potenzreihen-Methode +wiedergefunden werden. +Dabei stellt sich heraus, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen eines +selbstadjungierten Differentialgoperator sind. +Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten +Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu +verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. + +\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung +\begin{equation} +(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 +\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} +\end{equation} +für eine Funktion $y(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$. + +Sei $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}. +Setzt man $y_s(x)=y(-x)$ in die Differentialgleichung ein, erhält +man +\[ +(1-x^2)y_s''(x) - 2x y'_s(x) + n(n+1)y_s(x) += +(1-x^2)y''(-x) +2x y(-x) +n(n+1)y(-x). +\] +Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus +\[ +(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0 +\] +aus der Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}. +Insbesondere ist die gespiegelte Funktion $y_s(x)$ ebenfalls +eine Lösung der Differentialgleichung. + +Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist, dann lässt +sie sich in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion +\[ +\left. +\begin{aligned} +y_g(x) &= \frac{y(x)+y(-x)}{2}\\ +y_u(x) &= \frac{y(x)-y(-x)}{2} +\end{aligned} +\quad +\right\} +\quad +\Rightarrow +\quad +y(x) = y_g(x) + y_u(x) +\] +zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen +$y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung +sind. + +\subsubsection{Potenzreihenlösung} +Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und +verwenden dazu den Ansatz +\[ +y(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k. +\] +\begin{align*} +(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2} +-2x\sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1} ++ +n(n+1)\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +&= +0 +\\ +\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k +- +\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^k +- +2\sum_{k=1}^\infty ka_kx^k ++ +n(n+1)\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +&= +0 +\end{align*} +Die Koeffizienten zur Potenz $k$ sind daher +\begin{align} +k&=0: +& +0&= +2a_2+n(n+1)a_0 +\notag +\\ +&& +a_2&=-\frac{n(n+1)}{2}a_0 +\notag +\\ +k&=1: +& +0&= +6a_3-2a_1+n(n+1)a_1 +\notag +\\ +&& +a_3&= \frac{2-n(n+1)}{6}a_1 +\notag +\\ +k&>1: +& +0&= +(k+2)(k+1)a_{k+2} -k(k-1)a_k -2ka_k +n(n+1) a_k +\notag +\\ +&& +a_{k+2} +&= +\frac{ k(k+1)-n(n+1) }{(k+2)(k+1)} +a_k +\label{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} +\end{align} +Wenn $a_1=0$ und $a_0\ne 1$ ist, dann ist die Funktion $y(x)$ gerade, +alle ungeraden Koeffizienten verschwinden. +Ebenso verschwinden alle geraden Koeffizienten, wenn $a_0=0$ und $a_1\ne 0$. +Für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung ist +$y_g(x)$ ein Lösung mit $a_1=0$ und $y_u(x)$ eine Lösung mit $a_0=0$. +Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf gerade oder ungerade +Lösungen einschränken. + +Gesucht ist jetzt eine Lösung in Form eines Polynoms. +In diesem Fall müssen die Koeffizienten $a_k$ ab einem +gewissen Index verschwinden. +Dies tritt nach \eqref{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} genau +dann auf, wenn der Zähler für ein $k$ verschwindet. +Folglich gibt es genau dann Polynomlösungen der Differentialgleichungen, +wenn $n$ eine natürlich Zahl ist. +Ausserdem ist die Lösung ein Polynom $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$. +Das Polynom soll wieder so normiert sein, dass $\bar{P}_n(1)=1$ ist. + +Die Lösungen der Differentialgleichungen können jetzt explizit +berechnet werden. +Zunächst ist $\bar{P}_0(x)=1$ und $\bar{P}_1(x)=x$. +Für $n=2$ setzen wir zunächst $a_0=1$ und $a_1=0$ und erhalten +\[ +y(x) += +1 + \frac{0(0+1) - 2(2+1)}{(0+2)(0+1)}a_0 x^2 += +1 +-3x^2 +\qquad\text{oder}\qquad +\bar{P}_3(x) = \frac12(3x^2-1). +\] +Für $n=3$ starten wir von $a_1=1$ und $a_0=0$, was zunächst $a_2=0$ +impliziert. +Für $a_3$ finden wir +\[ +a_3=\frac{1(1+1)-3(3+1)}{(1+2)(1+1)} = -\frac53 +\qquad\Rightarrow\qquad +y(x) = x-\frac53x^3 +\qquad\Rightarrow\qquad +\bar{P}_3(x) = \frac12(5x^3-3x). +\] +Dies stimmt überein mit den früher gefundenen Ausdrücken für +die Legendre-Polynome. + +Die Potenzreihenlösung zeigt zwar, dass es für jedes $n\in\mathbb{N}$ +eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. +Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome +orthogonal sind. + +\subsubsection{Eigenfunktionen} +Die Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} +Kann mit dem Differentialoperator +\[ +D = \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx} +\] +als +\[ +Dy + n(n+1)y = 0 +\] +geschrieben werden. +Tatsächlich ist +\[ +Dy += +\frac{d}{dx} (1-x^2) \frac{d}{dy} += +\frac{d}{dx} (1-x^2)y' += +(1-x^2)y'' -2x y'. +\] +Dies bedeutet, dass die Lösungen $\bar{P}_n(x)$ Eigenfunktionen +des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: +\[ +D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. +\] + +\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn +für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt +\[ +\langle Af,g\rangle = \langle f,Ag\rangle +\] +gilt. +Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen, +dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen +Eigenwerten orthogonal sind. +Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen +\begin{equation*} +\begin{array}{rcccl} +\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\langle f,g\rangle +\\ +=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\langle f,g\rangle +\\ + & & 0 &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle +\end{array} +\end{equation*} +Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein. + +Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h. +für zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ und $g$ +auf dem Intervall $[-1,1]$ gilt +\begin{align*} +\langle Df,g\rangle +&= +\int_{-1}^1 (Df)(x) g(x) \,dx +\\ +&= +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{d}{dx} (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x) +\,dx +\\ +&= +\underbrace{ +\biggl[ +\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x) +\biggr]_{-1}^1 +}_{\displaystyle = 0} +- +\int_{-1}^1 +\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \frac{d}{dx}g(x) +\,dx +\\ +&= +- +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\,dx +\\ +&= +- +\underbrace{ +\biggl[ +f(x) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\biggr]_{-1}^1}_{\displaystyle = 0} ++ +\int_{-1}^1 +f(x) \biggl(\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\,dx +\\ +&= +\langle f,Dg\rangle. +\end{align*} +Dies beweist, dass $D$ selbstadjungiert ist. +Da $\bar{P}_n$ Eigenwerte des selbstadjungierten Operators $D$ zu +den verschiedenen Eigenwerten $-n(n+1)$ sind, folgt auch, dass +die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die +gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome +erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. + +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} + +Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der +Legendreschen Differentialgleichung, die sich nicht als Polynome +darstellen lassen. +Ist $n$ gerade, dann liefern die Anfangswerte $a_0=0$ und $a_1=1$ +eine ungerade Funktion, die Folge der Koeffizienten bricht +aber nicht ab, vielmehr ist +\begin{align*} +a_{k+2} +&= +\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)}a_k += +\frac{k}{k+2}a_k. +\end{align*} +Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel findet man +\[ +a_{k} += +\frac{k-2}{k}a_{k-2} += +\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}a_{k-4} += +\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}\frac{k-6}{k-4}a_{k-6} += +\dots += +\frac{1}{k}a_1. +\] +Die Lösung hat daher die Reihenentwicklung +\[ +Q_0(x) = x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7+\dots += +\frac12\log \frac{1+x}{1-x} += +\operatorname{artanh}x. +\] +Die Funktion $Q_0(x)$ heisst {\em Legendre-Funktion zweiter Art}. + +Für $n=1$ wird die Reihenentwicklung $a_0=1$ und $a_1=0$ etwas +interessanter. +Die Rekursionsformel für die Koeffizienten ist +\[ +a_{k+2} += +\frac{k(k+1)-2}{(k+1)(k+2)} a_k. +\qquad\text{oder}\qquad +a_k += +\frac{(k-1)(k-2)-2}{k(k-1)} +a_{k-2} +\] +Man erhält der Reihe nach +\begin{align*} +a_2 &= \frac{-2}{2\cdot 1} a_0 = -1 +\\ +a_3 &= 0 +\\ +a_4 &= \frac{3\cdot 2-2}{4\cdot 3} a_2 = \frac{4}{4\cdot 3}a_2 = \frac13a_2 = -\frac13 +\\ +a_5 &= 0 +\\ +a_6 &= \frac{5\cdot 4-2}{6\cdot 5}a_4 = \frac{18}{6\cdot 5}a_4 = -\frac15 +\\ +a_7 &= 0 +\\ +a_8 &= \frac{7\cdot 6-2}{8\cdot 7}a_6 = \frac{40}{8\cdot 7} = -\frac17 +\\ +a_9 &= 0 +a_{10} &= \frac{9\cdot 8-2}{10\cdot 9}a_8 = \frac{70}{10\cdot 9} = -\frac19, +\end{align*} +woraus sich die Reihenentwicklung +\begin{align*} +y(x) +&= +-x^2 -\frac13x^4 -\frac15x^6 - \frac17x^8 -\frac19x^{10}-\dots +\\ +&= +-x\biggl(x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7 + \frac19x^9+\dots\biggr) += +-x\operatorname{artanh}x. +\end{align*} +Die {\em Legendre-Funktionen zweiter Art} $Q_n(x)$ werden allerdings +so definiert, dass gewisse Rekursionsformeln für die Legendre-Polynome, +die wir hier nicht hergeleitet haben, auch für die $Q_n(x)$ gelten. +In dieser Normierung muss statt des eben berechneten $y(x)$ die Funktion +\[ +Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 +\] +verwendet werden. + + + + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex index ceba53a..109cd61 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex @@ -508,496 +508,15 @@ Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. -% -% Differentialgleichungen -% -\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} -\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} -\subsubsection{Legendre-Polyome} -\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} -Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} - %% -%% Anwendung: Gauss-Quadratur +%% Differentialgleichungen %% -%\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur} -%Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem -%von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. -%Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr -%gut durch Polynome approximieren lassen. -%Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome -%sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für -%andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird. -% -%\subsubsection{Interpolationspolynome} -%Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ -%ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten -%$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt. -%Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem -%linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ -%ermittelt werden können. -% -%Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt -%angeben. -%Dazu konstruiert man zuerst die Polynome -%\[ -%l_i(x) -%= -%\frac{ -%(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n) -%}{ -%(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n) -%} -%\] -%vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren -%im Produkt wegzulassen sind. -%Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft -%\[ -%l_i(x_j) = \delta_{ij} -%= -%\begin{cases} -%1&\qquad i=j\\ -%0&\qquad\text{sonst}. -%\end{cases} -%\] -%Die Linearkombination -%\[ -%p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x) -%\] -%ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$ -%die Werte -%\[ -%p(x_j) -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j) -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij} -%= -%f(x_j) -%\] -%hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom. -% -%\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation} -%Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ -%kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden. -%Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt -%für die Integrale -%\[ -%\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr| -%\le -%\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx -%\le -%2\varepsilon. -%\] -%Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch -%eine gute Approximation für das Integral. -% -%Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$ -%bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten -%berechnet werden können. -%Tatsächlich ist -%\begin{equation} -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i) -%\underbrace{\int_{-1}^1 -%l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} -%\end{equation} -%Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$ -%gewichtete Summe -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx -%\approx -%\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i -%\] -%approximiert. -% -%\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind} -%Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten. -%Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben, -%braucht man $2n+1$ Stützstellen. -%Andererseits gilt -%\[ -%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx -%= -%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx, -%\] -%das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem -%Index bestimmt. -%Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen -%Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das -%Integral exakt zu bestimmen. -% -%\begin{beispiel} -%Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also -%für $n=1$. -%Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$ -%derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ -%das Integral durch -%\[ -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1) -%\] -%gebeben ist. -%Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen, -%erhalten wir vier Gleichungen -%\[ -%\begin{aligned} -%p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2 &= A_0\phantom{x_0}+ A_1 \\ -%p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0 &= A_0x_0 + A_1x_1 \\ -%p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ -%p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. -%\end{aligned} -%\] -%Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form -%\[ -%\left. -%\begin{aligned} -%A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -%A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 -%\end{aligned} -%\quad -%\right\} -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%x_0^2=x_1^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%x_1=-x_0. -%\] -%Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir -%\[ -%0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 -%\quad\Rightarrow\quad -%A_0=A_1. -%\] -%Aus der ersten Gleichung folgt jetzt -%\[ -%2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1. -%\] -%Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was -%mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann: -%\[ -%\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2 -%\quad\Rightarrow\quad -%x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} -%\] -%Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3 -%im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch -%\[ -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr) -%+ -%p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr). -%\] -%Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms -%exakt bestimmt werden. -% -%Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$ -%mit bestimmt. -%Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die -%Stützstellen kennt. -%Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} -%sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome -%$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind: -%\begin{align*} -%l_0(x) -%&= -%\frac{x-x_1}{x_0-x_1} -%= -%\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} -%= -%\frac12(1-\sqrt{3}x) -%\\ -%l_1(x) -%&= -%\frac{x-x_0}{x_1-x_0} -%= -%\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} -%= -%\frac12(1+\sqrt{3}x) -%\end{align*} -%Diese haben die Integrale -%\[ -%\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1 \frac12\,dx -%= -%1, -%\] -%da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat. -%Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein. -%\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} -%\end{beispiel} -% -%Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$ -%verallgemeinert werden. -%Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und -%Gewichte sehr mühsam. -% -%\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome} -%Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum -%der Polynome vom Grad $n$. -% -%\begin{satz} -%\label{buch:integral:satz:gaussquadratur} -%Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ -%orthogonal sind. -%Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ -%und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = -%\sum_{i=0}^n A_if(x_i) -%\] -%für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen -%$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$. -%\end{satz} -% -%\begin{proof}[Beweis] -%Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$. -%Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es -%Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$. -%Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx -%= -%\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx. -%\] -%Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$. -% -%Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet -%werden können, muss auch -%\[ -%0 -%= -%\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx -%= -%\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) -%\] -%für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. -%Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden -%kann, den Grad $n-1$ haben, folgt -%\[ -%0 -%= -%\sum_{i=0}^n -%l_j(x_i)p(x_i) -%= -%\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), -%\] -%die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms -%$p(x)$ sein. -%\end{proof} -% -%Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das -%{\em Gausssche Quadraturverfahren}. -%Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome} -%bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz -%verlangte Eigenschaft, -%dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. -%Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man -%automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad -%$2n-1$ exakt ist. -% -%\begin{beispiel} -%Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die -%Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel -%auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen -%Sützstellen. -%\end{beispiel} -% -%\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur} -%Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet -%Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt. -%Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung -%angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. -% -%\begin{satz} -%Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer -%Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ -%eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare -%Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E -%\] -%gegeben durch -%\begin{equation} -%E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx, -%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} -%\end{equation} -%wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$ und $\xi$ ein geeigneter -%Wert im Intervall $[-1,1]$ ist. -%\end{satz} -% -%Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von -%\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} -%geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$. -%Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$ -%Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer -%stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren -%Wert des Integrals konvergieren. -% -%\begin{table} -%\def\u#1{\underline{#1}} -%\centering -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%\hline -% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%\hline -%\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\ -%\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\ -%\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\ -%\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\ -% 10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\ -% 12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\ -% 14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\ -% 16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\ -% 18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\ -% 20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\ -%\hline -% \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ -%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal -%so vielen Stützstellen. -%Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur -%Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen -%nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}} -%\end{table} -% -%%\begin{table} -%%\def\u#1{\underline{#1}} -%%\centering -%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%%\hline -%% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%%\hline -%%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\ -%%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\ -%%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\ -%%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\ -%% 10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\ -%% 12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\ -%% 14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\ -%% 16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\ -%% 18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\ -%% 20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\ -%%\hline -%% \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\ -%%\hline -%%\end{tabular} -%%\end{table} -% -%%\begin{table} -%%\def\u#1{\underline{#1}} -%%\centering -%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%%\hline -%% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%%\hline -%%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\ -%%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\ -%%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\ -%%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\ -%% 10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\ -%% 12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\ -%% 14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\ -%% 16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\ -%% 18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\ -%% 20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\ -%%\hline -%% \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\ -%%\hline -%%\end{tabular} -%%\end{table} -% -%\begin{table} -%\def\u#1{\underline{#1}} -%\centering -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%\hline -% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%\hline -%\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\ -%\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\ -%\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\ -%\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\ -% 10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\ -% 12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\ -% 14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\ -% 16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\ -% 18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\ -% 20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\ -%\hline -% \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ -%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal -%so vielen Stützstellen. -%Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun -%sich beide Verfahren sehr schwer. -%Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen -%mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen -%nur 3 korrekte Nachkommastellen findet. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}} -%\end{table} -% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf} -%\caption{Approximationsfehler des -%Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} -%in Abhängigkeit von $a$. -%Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden -%$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$ -%nahe an $1$ ist. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}} -%\end{figure} -% -%Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir -%das Integral -%\begin{equation} -%\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx -%= -%\arcsin a + a \sqrt{1-a^2} -%\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} -%\end{equation} -%mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren -%andererseits. -%Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt, -%berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln. -%In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} -%und -%\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} -%sind die Resultate zusammengestellt. -%Für $a =\frac12$ zeigt -%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} -%die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit -%12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht. -%Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur -%4 korrekte Nachkommastellen. -% -%An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden -%des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}. -%Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer -%deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren -%diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen. -%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie -%die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist. -%Dies zeigt auch der Graph in -%Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}. -% -%\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion} +%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +%\subsubsection{Legendre-Polyome} +%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} + +\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex} + \input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex} diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..191bad6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -0,0 +1,12 @@ +# +# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 9 +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/090-pde/gleichung.tex \ + chapters/090-pde/separation.tex \ + chapters/090-pde/rechteck.tex \ + chapters/090-pde/kreis.tex \ + chapters/090-pde/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile new file mode 100644 index 0000000..c189517 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: besselzeros.tex besselnodes.tex pauke.pdf + +besselzeros.tex: besselzeros.m + octave besselzeros.m + +besselnodes.tex: besselnodes.m + octave besselnodes.m + +pauke.pdf: pauke.tex besselnodes.tex + pdflatex pauke.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m new file mode 100644 index 0000000..0dcba3e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m @@ -0,0 +1,106 @@ +# +# besselnodes.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global maxmu; +maxmu = 3; +global maxk; +maxk = 4; +global mu; + +nachkommastellen = 4; + +function retval = f(x) + global mu; + retval = besselj(mu, x); +endfunction + +global kzeros; +kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1); +for mu = (0:maxmu) + k = 0; + x = 0.0001; + while (k <= maxk) + bracket = [ x, x+1 ]; + if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) + kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket); + k = k + 1; + endif + x = x + 1; + endwhile +endfor + +xshift = 4; +yshift = 4; +global r; +r = 1.8; + +function retval = anderefarbe(f) + if (1 == strcmp("red", f)) + retval = "blue"; + else + retval = "red"; + endif +endfunction + +function sektor(fn, mu, k, w0, w1, startfarbe) + global kzeros; + global r; + fprintf(fn, "\\begin{scope}\n"); + fprintf(fn, "\\clip (0,0)--(%.4f:%.4f) arc (%.4f:%.4f:%.4f)--cycle;\n", + w0, r, w0, w1, r); + faktor = kzeros(k+1,mu+1); + + K = k + 1; + farbe = startfarbe; + while (K > 0) + R = r * kzeros(K, mu+1) / faktor; + fprintf(fn, "\\fill[color=%s!20] ", farbe); + fprintf(fn, "(0,0) circle[radius=%.4f];\n", R); + farbe = anderefarbe(farbe); + K = K-1; + end + fprintf(fn, "\\end{scope}\n"); +endfunction + +fn = fopen("besselnodes.tex", "w"); + +#fprintf(fn, "\\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]\n"); + +for mu = (0:maxmu) + if (mu > 0) + winkel = 180 / mu; + else + winkel = 360; + endif + for k = (0:maxk) + fprintf(fn, "\\begin{scope}[xshift=%.3fcm,yshift=-%.3fcm]\n", + mu * xshift, k * yshift); + for w0 = (0:2*winkel:360) + sektor(fn, mu, k, w0, w0 + winkel, "red"); + if (winkel < 270) + sektor(fn, mu, k, w0 + winkel, w0 + 2 * winkel, "blue"); + endif + endfor + + fprintf(fn, "\\draw (0,0) circle[radius=%.4f];\n", r); + + fprintf(fn, "\\end{scope}\n\n"); + endfor +endfor + +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above] {$\\mu=%d$};\n", + mu * xshift, 0.5 * yshift, mu); +endfor + +for k = (0:maxk) + fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above,rotate=90] {$k=%d$};\n", + -0.5 * xshift, -k * yshift, k); +endfor + +#fprintf(fn, "\\end{tikzpicture}\n"); + +fclose(fn); + diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m new file mode 100644 index 0000000..9c8fa9d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m @@ -0,0 +1,70 @@ +# +# besselzeros.m -- find zeros of bessel functions +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global maxmu; +maxmu = 7; +global maxk; +maxk = 10; +global mu; + +nachkommastellen = 4; + +function retval = f(x) + global mu; + retval = besselj(mu, x); +endfunction + +kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1); +for mu = (0:maxmu) + k = 0; + if (mu > 0) + kzeros(1, mu+1) = 0; + k = k+1; + endif + x = 0.0001; + while (k <= maxk) + bracket = [ x, x+1 ]; + if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) + kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket); + k = k + 1; + endif + x = x + 1; + endwhile +endfor + +# kzeros + +fn = fopen("besselzeros.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\begin{tabular}{|>{$}c<{$}"); +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "|>{$}r<{$}"); +endfor +fprintf(fn, "|}\n"); + +fprintf(fn, "\\hline\n"); +fprintf(fn, " k "); +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "& \\mu = %d ", mu); +endfor +fprintf(fn, "\\\\\n"); +fprintf(fn, "\\hline\n"); + +for k = (0:maxk) + fprintf(fn, " %d ", k); + for mu = (0:maxmu) + value = kzeros(k+1, mu+1); + if (value == 0) + fprintf(fn, "& 0\\phantom{.%0*d}", nachkommastellen, 0); + else + fprintf(fn, "& %*.*f", nachkommastellen+4, nachkommastellen, kzeros(k+1, mu+1)); + endif + endfor + fprintf(fn, "\\\\\n"); +endfor +fprintf(fn, "\\hline\n"); +fprintf(fn, "\\end{tabular}\n"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex new file mode 100644 index 0000000..1b8d33b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline + k & \mu = 0 & \mu = 1 & \mu = 2 & \mu = 3 & \mu = 4 & \mu = 5 & \mu = 6 & \mu = 7 \\ +\hline + 0 & 2.4048& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}\\ + 1 & 5.5201& 3.8317& 5.1356& 6.3802& 7.5883& 8.7715& 9.9361& 11.0864\\ + 2 & 8.6537& 7.0156& 8.4172& 9.7610& 11.0647& 12.3386& 13.5893& 14.8213\\ + 3 & 11.7915& 10.1735& 11.6198& 13.0152& 14.3725& 15.7002& 17.0038& 18.2876\\ + 4 & 14.9309& 13.3237& 14.7960& 16.2235& 17.6160& 18.9801& 20.3208& 21.6415\\ + 5 & 18.0711& 16.4706& 17.9598& 19.4094& 20.8269& 22.2178& 23.5861& 24.9349\\ + 6 & 21.2116& 19.6159& 21.1170& 22.5827& 24.0190& 25.4303& 26.8202& 28.1912\\ + 7 & 24.3525& 22.7601& 24.2701& 25.7482& 27.1991& 28.6266& 30.0337& 31.4228\\ + 8 & 27.4935& 25.9037& 27.4206& 28.9084& 30.3710& 31.8117& 33.2330& 34.6371\\ + 9 & 30.6346& 29.0468& 30.5692& 32.0649& 33.5371& 34.9888& 36.4220& 37.8387\\ + 10 & 33.7758& 32.1897& 33.7165& 35.2187& 36.6990& 38.1599& 39.6032& 41.0308\\ +\hline +\end{tabular} diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..54edc20 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex new file mode 100644 index 0000000..bba092e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +% +% pauke.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{besselnodes.tex} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..543a92d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +% +% chapter.tex -- Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\chapter{Partielle Differentialgleichungen +\label{buch:chapter:pde}} +\lhead{Partielle Differentialgleichungen} +\rhead{} +Partielle Differentialgleichungen sind eine besonders ergiebige +Quelle für Anwendungen spezieller Funktionen. +Die Separationsmethode zum Beispiel für die Wellengleichung +auf gewissen, besonders einfachen Gebieten wie Rechtecken, +Kreisscheiben oder Kugel führt auf gewöhnliche Differentialgleichungen, +deren Lösungen spezielle Funktionen sind. + +\input{chapters/090-pde/gleichung.tex} +\input{chapters/090-pde/separation.tex} +\input{chapters/090-pde/rechteck.tex} +\input{chapters/090-pde/kreis.tex} + +%\section*{Übungsaufgaben} +%\rhead{Übungsaufgaben} +%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} +%\begin{uebungsaufgaben} +%\uebungsaufgabe{0} +%\uebungsaufgabe{1} +%\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex new file mode 100644 index 0000000..07dd2ff --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% gleichung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Gleichungen und Randbedingungen +\label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} + +\subsection{Laplace-Operator} + +\subsection{Orthogonalität} diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex new file mode 100644 index 0000000..a54ce38 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex @@ -0,0 +1,219 @@ +% +% kreis.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Kreisförmige Membran +\label{buch:pde:section:kreis}} +In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen +Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden. +Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen +auftreten und die Eigenfrequenzen werden durch ihre Nullstellen +berechnet. + +\subsection{Differentialgleichung und Randbedingung} +Die Wellengleichung auf einem Kreisgebiet mit Radius $r_0$ +lässt sich am besten mit Hilfe von Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ +ausdrücken. +Gesucht ist also eine Funktion $u(t,r,\varphi)$ gesucht, wobei +$0\le r<r_0$ und $0\le \varphi\le 2\pi$. +Die Funktion muss eine Lösung der Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\] +sein. + +Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form +\begin{equation} +\Delta += +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac1r +\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r 2} +\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kreis:laplace} +\end{equation} +Die Differentialgleichung ist +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} += +\Delta u. +\] +Die Separation der Zeit führt auf die Eigenwertgleichung +\[ +\Delta U(r,\varphi) = -\lambda^2 U(r,\varphi) +\] +für eine Funktion, die nur von $r$ und $\varphi$ abhängt. + +Die Randbedingungen besagen, dass $u(t,r_0,\varphi)=0$ für $t>0$. +Dies bedeutet für die Funktion $U(r,\varphi)$, dass +$U(r_0,\varphi)=0$ sein muss für alle $\varphi$. + +Die Bedingungen an $U$ reichen aber nicht ganz. +Alle Koordinaten $(0,\varphi)$ bezeichnen ja gleichermassen +den Nullpunkt des Koordinatensystems, es muss also auch sichergestellt +sein, dass $U(0,\varphi)$ für alle $\varphi$ den gleichen Wert gibt. + +\subsection{Separation} +Das Eigenwertproblem $\Delta U=-\lambda^2 U$ soll jetzt in Polarkoordinaten +separiert werden. +Dazu schreiben wir die Lösung als +\[ +U(r,\varphi) += +R(r)\cdot \Phi(\varphi). +\] +Die Randbedingungen an $U$ werden zu $R(r_0)=0$. + +Im Ursprung des Koordinatensystems ist die Randbedingung etwas +komplizierter. +Wenn $R(0)=0$ ist, dann ist sichergestellt, dass +$U(0,\varphi)=R(0)\Phi(\varphi)0$ ist, dass also der Wert unabhängig +ist von $\varphi$. +Wenn aber $R(0)\ne 0$ ist, dann kann die geforderte Unabhängigkeit +von $\varphi$ nur erfüllt werden, wenn $\Phi(\varphi)$ konstant ist. +Da die Funktion aber auch noch differenzierbar sein soll, darf es +an der Stelle $r=0$ keine ``Spitze'' geben, die Ableitung $R'(0)$ +muss also auch $=0$ sein. +% XXX Evtl Bild zur Illustration dieses Problems + +Die Differntialgleichungen wird mit der Form~\eqref{buch:pde:kreis:laplace} +des Laplace-Operators +\[ +\Delta U += +R''(r) \Phi(\varphi) ++ +\frac1r R'(r)\Phi(\varphi) ++ +\frac{1}{r^2} R(r)\Phi''(\varphi) += +-\lambda^2 +R(r)\Phi(\varphi) +\] +Nach Division durch die rechte Seite erhalten wir +\[ +\frac{R''(r)}{R(r)} ++ +\frac1r \frac{R'(r)}{R(r)} ++ +\frac{1}{r^2} \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\lambda^2 +\] +Im letzten Term auf der linken Seite kommen die Variablen $r$ und $\varphi$ +gemischt vor, man muss also die Gleichung erst mit $r^2$ multiplizieren, +bevor man sie in +\[ +\frac{r^2R''(r)+rR'(r)+\lambda^2 r^2R(r)}{R(r)} += +-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +separieren kann. +Die beiden Seiten sind also konstant, wir nennen die gemeinsame +Konstanten $\mu^2$, das vereinfacht die Lösung der Gleichung +für $\Phi(\varphi)$. + +Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen +\begin{align*} +\Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi +\text{und}\qquad +\Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi. +\end{align*} +Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$ +gelten. +Dies ist nur möglich, wenn $\mu$ eine ganze Zahl ist. + +Für $\mu=0$ hat das charakteristische Polynome eine doppelte Nullstelle, +die allgemeine Lösung lautet daher +\[ +\Phi(\varphi)= C \varphi + D. +\] +Die Funktion $\Phi$ muss aber auch stetig sein, d.~h.~$\Phi(0)=\Phi(2\pi)$, +das ist mit $C\ne 0$ nicht möglich, somit kommt für $\mu=0$ nur die +Lösung $\Phi(\varphi)=D$ in Frage. + +Die Gleichung für $R(r)$ wird jetzt +\begin{equation} +r^2R''(r) + rR'(r)+(\lambda^2 r^2-\mu^2)R(r) += +0. +\label{buch:pde:kreis:Rdgl} +\end{equation} +Bis auf den Faktor $\lambda^2$ ist dies eine Besselsche Differentialgleichung. + +\subsection{Umformung in eine Besselsche Differentialgleichung} +Die Funktion $y(x) = J_\mu(sx)$ hat die Ableitungen +\begin{align*} +y'(x) &= sJ'_mu(sx) +\\ +y''(x) &= s^2J''_\mu(sx) +\end{align*} +Setzt man dies in die Besselsche Differentialgleichung für $J_\mu$ an +der Stelle $sx$ ein, erhält man +\[ +s^2x^2 J''_\mu(sx) + sx J'_\mu(sx) + (s^2x^2 -\mu^2) J_\mu(sx) = 0. +\] +Die Differentialgleichung \eqref{buch:pde:kreis:Rdgl} der Funktion $R(r)$ +wird also gelöst von den Funktionen $R(r) = J_\mu(\lambda r)$. + +\subsection{Eigenfrequenzen} +Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gefunden, dass die Lösungen +für $R(r)$ die Funktionen $J_\mu(\lambda r)$ sind. +Bis jetzt haben wir aber nicht nachgeprüft, dass die Randbedingung +eingehalten wird. +Diese ist erfüllt, $R(r_0)=0$ ist. +Es muss also +$J_\mu(\lambda r_0)=0$ sein, oder $\lambda r_0$ muss eine +Nullstelle von $J_{\mu}$ sein. +Bezeichnen wir die Nullstellen von $J_\mu$ mit $j_{\mu k}$, wobei $k$ +eine natürliche Zahl ist, dann muss +\[ +\lambda = \frac{j_{\mu k}}{r_0} +\] +sein. +Die Eigenfrequenzen der kreisförmigen Membran werden also im Wesentlichen +durch die Nullstellen der Bessel-Funktionen gegeben. + +Zu jedem ganzzahligen $\mu$ gibt es also eine Folge $j_{\mu k}/r_0$ von +Eigenfrequenzen. +Die Lösungen mit Index $k$ der Differentialgleichung mit Index $k$ hat +die Form +\[ +U_{\mu k}(r,\varphi) += +C \cos(\mu \varphi+\delta) +J_{\mu}\biggl( +\frac{j_{\mu k}}{r_0}r +\biggr) +\] +Der Faktor $J_{\mu}$ hat $k$ weitere Nullstellen für Radien $r<r_0$,diese +gehören zu kreisförmigen Knotenlinien der Membran, dort bewegt sie sich +nicht. +Der Faktor $\cos(\mu\varphi+\delta)$ hat $2\mu$ Nullstellen im Intervall +$[0,2\pi)$, es gibt also noch zusätzlich $\mu$ diametrale Knotenlinien. +Nur für $\mu=0$ gibt es Lösungen, die keine radialen Knotenlinien haben, +da in diesem Fall $\Phi$ eine konstante Funktion sein muss. + +\begin{table} +\centering +\input{chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex} +\caption{Nullstellen der Bessel-Funktionen +\label{buch:pde:kreis:table:besselzeros}} +\end{table} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf} +\caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien +für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$. +Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist +rot dargestellt, die negativen Bereiche blau. +In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien. +Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen +der Besselfunktionen berechnet werden. +\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}} +\end{figure} diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex new file mode 100644 index 0000000..944fbf1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +% +% rechteck.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rechteckige Membran +\label{buch:pde:section:rechteck}} diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex new file mode 100644 index 0000000..81195d3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex @@ -0,0 +1,391 @@ +% +% separation.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Separationsmethode +\label{buch:pde:section:separation}} +Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung +ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der +Anfangsbedingung garantiert. +Ausserdem steht eine ganze Reihe von Lösungsverfahren zur +Verfügung, nicht zuletzt das Potenzreihenverfahren, welches in +Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} beschrieben wurde. +Das Ziel dieses Abschnitts ist eine Methode vorzustellen, mit +der partielle Differentialgleichungen auf gewöhnliche +Differentialgleichungen zurückgeführt werden können. + +% +% Ansatz +% +\subsection{Separationsansatz} +Die Separationsmethode ist motiviert durch die Beobachtung, dass in +vielen partiellen Differentialgleichungen die Ableitungen nach +verschiedenen Variablen sich in verschiedenen Termen befinden und +sich daher algebraisch trennen lassen. +Für eine beliebige Funktion bringt das nicht viel, aber für +Funktionen mit einer speziellen Form kann man daraus eine Vereinfachung +ableiten. + +% +% Prinzip der Separation +% +\subsubsection{Prinzip} +Die Grundlage der Separationsmethode ist die Idee, die Differentialgleichung +in zwei Teile aufzuteilen, die keine gemeinsamen Variablen enthalten. +Eine partielle Differentialgleichungen in einem zweidimensionalen +Gebiet mit den Koordinaten $x$ und $y$ soll so umgeformt +werden, dass auf der linken Seite des Gleichheitszeichens nur +die Variable $x$ vorkommt und auf der rechten nur die Variable $y$. +Es entsteht also eine Gleichung der Form +\begin{equation} +F(x) = G(y). +\label{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} +\end{equation} +Wie so etwas gehen gehen kann wird weiter unten untersucht. + +Betrachtet hält man in der Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} +die Variable $x$ fest, steht links eine fest Zahl, schreiben wir +sie $\lambda$. +Die Gleichung wird also zu +\[ +\lambda = G(y), +\] +sie muss für alle $y$ gelten. +Es folgt dann, dass die rechte Seite gar nicht von $y$ abhängen kann. +Für jeden Wert von $y$ muss $G$ den gleichen Wert $\lambda$ geben. + +Wenn aber $G$ konstant ist und immer den Wert $\lambda$ ergibt, dann +ist die Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} auch gleichbedeutend +mit der Gleichung +\[ +F(x) = \lambda, +\] +$F$ muss also auch konstant sein. + +Die algebraische Trennung der beiden Variablen $x$ und $y$ hat also +zur Folge, dass die beiden Seiten der Gleichung gar nicht varieren +können, beide Seiten müssen konstant sein. +Die Konstante ist allerdings nicht bekannt und muss im Laufe der +weiteren Lösungsschritte der Gleichung bestimmt werden. + +Die Überlegungen funktionieren auch für eine grössere Zahl von +Variablen. +Entscheidend ist nur, dass die einen Variablen, zum Beispiel +$x_1,\dots,x_k$, nur auf der linken Seite vorkommen und die anderen, +wir nennen sie $x_{k+1},\dots,x_n$ nur auf der rechten. +Die Gleichung hat dann die Form +\begin{equation} +F(x_1,\dots,x_k) += +G(x_{k+1},\dots,x_n). +\label{buch:pde:ansatz:eqn:FF=GG} +\end{equation} +Setzt man feste Werte von $x_1,\dots,x_k$ ein, ist die linke Seite +eine Zahl, die wir wieder $\lambda$ nennen können. +Es muss also für alle $x_{k+1},\dots,x_n$ gelten, dass +$G(x_{k+1},\dots,x_n)=\lambda$ ist. +Daher ist $G$ eine Konstante, sie ist gar nicht von den Variablen +abhängig. +Wenn aber die rechte Seite konstant ist, dann muss auch für alle +$x_1,\dots,x_k$ gelten, dass $F(x_1,\dots,x_k)=\lambda$ ist, +die linke Seite kann also auch nicht varieren. + +\begin{prinzip} +In einer Gleichung +\[ +F(x_1,\dots,x_k) = G(x_{k+1},\dots,x_n), +\] +in der die linke Seite nur von $x_1,\dots,x_k$ abhängt und die +rechte nur von $x_{k+1},\dots,x_n$ müssen beide Seiten konstant sein. +\end{prinzip} + +% +% Beispiel zur Erklärung des Separationsvorgehens +% +\subsubsection{Ein Beispiel} +In der Differentialgleichung +\[ +x\frac{\partial u}{\partial x} +- +y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} += +y^4 +\] +kommen die Ableitungen nach $x$ und $y$ in verschiedenen Termen vor. +Wir versuchen daher, auch die Lösungsfunktion als Summe +\[ +u(x,y) = X(x) + Y(y) +\] +von Termen zu schreiben, die nur von jeweils einer Variablen abhängen. +Setzt man dies in die Differentialgleichung ein, erhält man +\[ +x\frac{\partial}{\partial x}(X(x)+Y(y)) +-y^2\frac{\partial}{\partial y}(X(x)+Y(y)) += +xX'(x) -y^2Y'(y) += +y^4. +\] +Indem man den Term mit $y$ auf die rechte Seite schafft, findet man +die Gleichung +\[ +xX'(x) = y^2Y'(y) + y^4, +\] +in der die Variablen $x$ und $y$ separiert sind. +Es folgt, dass beide Seiten konstant sein müssen, es gibt also eine +Konstante $\lambda$ derart, dass +\[ +xX'(x) = \lambda +\qquad\text{und}\qquad +y^2Y''(y) +y^4 = \lambda. +\] +Diese beiden Gleichungen lassen sich als Differentialgleichungen in +der üblicheren Form als +\begin{align*} +X'(x) &= \frac{\lambda}{x} +&&\Rightarrow& +X(x) &= \int \frac{\lambda}{x}\,dx = \lambda \log x + C +\\ +Y''(y) &= \frac{\lambda - y^4}{y^2} +&&\Rightarrow& +Y'(y) +&= +\int \frac{\lambda-y^4}{y^2}\,dy += +-\frac{\lambda}{y}-\frac{y^3}3 + D +\\ +& +&&\Rightarrow& +Y(y) +&= +\int Y'(y)\,dy += +-\lambda \log y - \frac{y^4}{12} +Dy +E +\end{align*} +schreiben und im Falle von $X(x)$ mit einem Integral lösen. +$Y(y)$ benötigt zwei Integrationen, ist aber ansonsten nicht +schwieriger zu bestimmen. + +Das Beispiel zeigt, dass ein Separationsansatz ermöglicht, eine +partielle Differntialgleichung in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen +zu zerlegen, eine für jede Variable, und zu lösen. + +% +% Anpassung des Ansatzes an die Randbedingungen +% +\subsubsection{Separationsansatz und Randbedingungen} +Die im Beispiel gewählte Aufteilung der Lösungsfunktion in eine +Summe macht es sehr schwierig, Randbedingungen der partiellen +Differentialgleichungen in Randbedingungen der gewöhnlichen +Differentialgleichungen zu übersetzen. + +Als Beispiel dieser Schwierigkeit betrachten wir die Differentialgleichung +\[ +\Delta u += +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} += +a u +\] +auf dem Gebiet +$\Omega = [0,a]\times [0,b] = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0<x<a\wedge 0<y<b\}$ +mit den Randwerten $u(x,y)=0$ für Punkte auf dem Rand von $\Omega$. +Genauer: +\[ +\begin{aligned} +u(0,y) &= 0,& u(a,y) &= 0&&\text{für $0<y<b$} \\ +u(x,0) &= 0,& u(x,b) &= 0&&\text{für $0<x<a$}. +\end{aligned} +\] +Ein Ansatz der Form $u(x,y)=X(x) + Y(y)$ bedeutet für die +Randwerte $u(x,y)=0$, dass auf dem Rand $X(x)=-Y(y)$ gelten muss. +Das bedeutet aber, dass $X(0) = -Y(y)$, $Y$ müsste also konstant +sein. + +Ein Produktansatz löst das Problem. +Wir verwenden stattdessen einen Produktansatz +$u(x,y) = X(x)\cdot Y(y)$, wobei die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$ +nicht konstant sein sollen. +Die Randbedingungen sind +\[ +\begin{aligned} +u(0,y) &= X(0) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(0)&=0\\ +u(a,y) &= X(a) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(a)&=0\\ +u(x,0) &= X(x) Y(0) = 0&&\Rightarrow& Y(0)&=0\\ +u(x,b) &= X(x) Y(b) = 0&&\Rightarrow& Y(b)&=0. +\end{aligned} +\] +Der Produktansatz ermöglicht also, die Randbedingungen für die Funktion +$u(x,y)$ in Randbedingungen für die Funktionen $X(x)$ oder $Y(y)$ +umzuwandeln. + +% +% Eigenwertprobleme +% +\subsection{Eigenwertproblem} +Viele partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik +sind zeitabhängig, aber das räumliche Gebiet, in dem sie +definiert sind, ist nicht von der Zeit abhängig. +Dies + +\subsubsection{Wellengleichung} +Die Schwingung einer ebenen Membran, die in ein emGebiet +$G\subset\mathbb{R}^n$ eingespannt ist, wird durch die +Wellengleichung +\begin{equation} +\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u, +\label{buch:pde:separation:wellengleichung} +\end{equation} +beschrieben. +Darin ist $u(t,x)$ die Auslenkung der Membran zur Zeit $t>0$ in einem +Punkt $x\in G$ des Gebietes $G$ ist. +Die Randbedingungen zerfallen in zwei Teile: +\begin{itemize} +\item +Bedingungen, die wiedergeben, dass die Membran in einen +Rahmen eingespannt und damit unbeweglich ist. +Dies bedeutet, dass $u(t,x)=0$ für alle Zeiten $t>0$ und für +Randpunkte $x\in\partial G$ von $G$ ist. +\item +Bedingungen, die Auslenkung und Geschwindigkeit der Membran zur +Zeit $t=0$ beschreiben, typischerweise ind er Form +\begin{align*} +u(0,x) = f(x), +\frac{\partial u}{\partial t}(0,x) = g(x) +\end{align*} +wobei $f(x)$ und $g(x)$ Funktionen auf dem Gebiet $G$ sind. +\end{itemize} + +In der Zeitableitung auf der linken Seite +von~\eqref{buch:pde:separation:wellengleichung} +kommen die Ortskoordinaten nicht vor und im Laplace-Operator +auf der rechten Seite tritt die Zeit nicht auf. +Es ist daher naheliegend zu versuchen, die Lösung der Differntialgleichung +als Produkt +\[ +u(t,x) = T(t) \cdot U(x) +\] +zu schreiben. +Wendet man die Differentialgleichung darauf an, wird daraus die Gleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +T''(t)\cdot U(x) += +T(t) \cdot \Delta U(x). +\] +Indem man druch $T(t)$ und $U(x)$ teilt, entsteht die separierte Gleichung +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} += +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}. +\] +Die linke Seite ist nur von der Zeit abhängig, die rechte nur von den +Ortskoordinaten. +Damit ist die Differentialgleichung separiert und das Problem darauf +reduziert, die gewöhnliche Differentialgleichung +\[ +T''(t) = \lambda T(t) +\] +und die partielle Differentialgleichung +\[ +\Delta U(x) = \lambda U(x) +\] +niedrigerer Dimension zu lösen. + +\subsubsection{Allgemeine Situation} +Das Definitionsgebiet der partiellen Differentialgleichung ist +also von der Form $\mathbb{R}^+\times G$, wobei $G\subset\mathbb{R}^n$ +ein räumliches Gebiet ist und $\mathbb{R}^+$ die Zeitachse. +Auch die Randbedingungen zerfallen in zwei Arten: +\begin{itemize} +\item +Bedingungen über die Lösungsfunktion zur Zeit $t=0$ im inneren des +räumliche Gebietes $G$, zum Beispiel +die Anfangsauslenkung und/oder Anfangsgeschwindigkeit einer schwingenden +Saite oder Membran. +\item +Bedingungen über die Lösungsfunktion auf dem Rand $\partial G$ von +$G$ für alle Zeiten $t>0$, zum Beispiel die Bedingung, dass die +Membran fest eingespannt ist. +\end{itemize} +Oft zerfällt auch der Differentialoperator in Zeitableitungen +und einen zeitunabhängigen Teil der nur Ableitungen nach den +Ortsvariablen enthält. +Die Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2}{\partial t^2} u += +\Delta u +\qquad\Leftrightarrow\qquad +\biggl( +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta +\biggr) u = 0 +\] +enthält Ableitungen nach der Zeit, die nicht von Ortskoordinaten +abhängig sind. +Der Laplace-Operator $\Delta$ ist nicht von der Zeitabhängig und das +Gebiet $G$ hängt ebenfalls nicht von der Zeit ab. + +\subsubsection{Separation der Zeit} +Unter den gegeben Voraussetzungen ist es naheliegend, die Lösungsfunktion +$u(t,x)$ als Produkt +\[ +u(t,x) = T(t) \cdot U(x),\qquad t\in\mathbb{R}^+, x\in G +\] +anzusetezen. +Die Wellengleichung wird dann +\[ +\frac{1}{c^2} +T''(t)\cdot U(x) += +T(t)\cdot\Delta U(x) +\] +und nach Separation +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} += +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}. +\] +Es gibt also eine gemeinsame Konstante. +Da wir Schwingungslösungen erwarten, für die $T''(t) = -\omega^2 T(t)$ +ist, schreiben wir die gemeinsame Konstante als $-\lambda^2$, was +später die Formeln vereinfachen wird. +Die separierten Differentialgleichungen werden jetzt +\begin{align*} +\frac{1}{c^2} +\frac{T''(t)}{T(t)} +&= +-\lambda^2 +&&\Rightarrow& +T''(t)-c^2\lambda T(t)&=0 +&&\Rightarrow& +T''(t) &= A \cos(c\sqrt\lambda t) + B \sin(c \lambda t) +\\ +&&&&&&&& + &= C \cos(c \lambda t+\delta) +\\ +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}&=-\lambda^2 +&&\Rightarrow& +\Delta U &= -\lambda^2 U +\end{align*} +Die letzte Gleichung für die Funktion $U(x)$ hat die Form +eines Eigenwertproblems mit dem Eigenwert $-\lambda^2$. + +\begin{definition} +Eine Eigenfunktion eines Operators $L$ zum Eigenwert $\lambda$ +ist eine Funktion $U$ derart, dass $LU=\lambda U$. +\end{definition} + +Die Separation ermöglich also, das ursprüngliche Problem aufzuspalten +in ein Eigenwertproblem für eine nur ortsabhängige Funktion $U(x)$ +und eine Schwingungsgleichung für $T(t)$. +Die Schwingungsfrequenz $c \lambda $ hängt direkt mit dem +Eigenwert zusammen. +Die Funktion $U(x)$ beschreibt die Form der Membran, die Amplitude +in jedem Punkt, der Faktor $T(t)$ beschreibt die Schwingung. + + diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex index b449aa2..51134ba 100644 --- a/buch/chapters/part1.tex +++ b/buch/chapters/part1.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \input{chapters/060-integral/chapter.tex} %\input{chapters/070-reihenprodukte/chapter.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex} -%\input{chapters/090-funktional/chapter.tex} +\input{chapters/090-pde/chapter.tex} % Gamma und Pi % Eulersche Beta-Funktion |