diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/0f1/teil2.tex | 20 |
1 files changed, 12 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index ef9f55e..9b3a586 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -11,7 +11,7 @@ Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieb \subsection{Potenzreihe
\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe
\begin{align}
\label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
@@ -23,7 +23,7 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums \frac{1}{c}
+\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
+ \cdots
- + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
+ + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}.
\end{align}
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
@@ -31,15 +31,17 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums \subsection{Kettenbruch
\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
-Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.
+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe ist die schnellere Konvergenz.
+\subsubsection{Grundlage}
Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
\begin{equation*}
-a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
\end{equation*}
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
-Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
+Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
\begin{equation*}
f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
\end{equation*}
@@ -48,7 +50,7 @@ Ergibt sich folgender Zusammenhang: \begin{equation*}
\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
\end{equation*}
-
+\subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
\begin{equation}
\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
@@ -68,6 +70,7 @@ erhält man: \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
\end{equation*}
+\subsubsection{Algorithmus}
Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
@@ -92,7 +95,7 @@ lässt sich zu \cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
\end{align*}
umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A_k\\
@@ -112,6 +115,7 @@ Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken: \end{pmatrix}.
%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
\end{equation*}
+ausdrücken.
Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
@@ -166,7 +170,7 @@ Und schlussendlich kann der Näherungsbruch berechnet werden.
-\subsubsection{Lösung}
+\subsubsection{Algorithmus}
Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
\begin{itemize}
\item Startbedingungen:
|