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\label{0f1:section:teil2}}
\rhead{Umsetzung}
-Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt.\cite{0f1:code} Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
-Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.
+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt, die in vollständiger Form auf Github \cite{0f1:code} zu finden sind. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
+Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Library in Python die Resultate geplottet.
\subsection{Potenzreihe
\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe
\begin{align}
\label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
@@ -23,41 +23,84 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings is \frac{1}{c}
+\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
+ \cdots
- + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
+ + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}.
\end{align}
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
\subsection{Kettenbruch
\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
-Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
+Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe ist die schnellere Konvergenz.
+
+\subsubsection{Grundlage}
+Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
+\begin{equation*}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
+\end{equation*}
+in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
+
+\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
+Wenn es eine Relation analytischer Funktion $f_i(z)$ hat, dann gibt es einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ \cite{0f1:wiki-fraction}.
+Nimmt man die Gleichung
+\begin{equation*}
+ f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
+\end{equation*}
+wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
+Ergibt sich der Zusammenhang
\begin{equation*}
-a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
+ \cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
\end{equation*}
-in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.
-Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist
+Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kommt man zur Formel
\begin{equation*}
- a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
+ g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
\end{equation*}
-und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.
-\cite{0f1:wiki-kettenbruch}
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies\cite{0f1:wiki-fraction}:
+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich
\begin{equation*}
+ g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
+\end{equation*}
+Repetiert man dies unendlich, erhält man einen Kettenbruch in der Form:
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:rekursion:eq}
+ \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+\cfrac{k_2z}{1+\cfrac{k_3z}{\cdots}}}}.
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
+Angewendet auf die Potenzreihe
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
+\end{equation}
+kann durch Substitution bewiesen werden, dass
+\begin{equation*}
+ \mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
+\end{equation*}
+eine Relation dazu ist.
+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ die Annahme
+\begin{align*}
+ f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
+ k_i =& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
+\end{align*}
+trifft und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
+\begin{equation*}
+ \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
\end{equation*}
-Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
+
+\subsubsection{Algorithmus}
+Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $ \frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} den Kettenbruch
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
\end{equation}
-der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde.
-\cite{0f1:wolfram-0f1}
+der als Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde.
+
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
\subsection{Rekursionsformel
\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
-Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}
+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche \cite{0f1:kettenbrueche} zu finden.
\subsubsection{Herleitung}
Ein Näherungsbruch in der Form
@@ -69,7 +112,7 @@ lässt sich zu \cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
\end{align*}
umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
+Dies lässt sich auch durch die Matrizenschreibweise
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A_k\\
@@ -89,11 +132,12 @@ Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken: \end{pmatrix}.
%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
\end{equation*}
+ausdrücken.
Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
\end{equation*}
-an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
+an, ergibt sich die Matrixdarstellungen:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
@@ -117,7 +161,7 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen: \begin{pmatrix}
b_k\\
a_k
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\end{align*}
Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
\begin{equation}
@@ -136,15 +180,15 @@ Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix a_k
\end{pmatrix}.
\end{equation}
-Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
+Und schlussendlich kann der Näherungsbruch
\[
-\frac{Ak}{Bk}
+\frac{A_k}{B_k}
\]
berechnet werden.
-\subsubsection{Lösung}
-Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}
+\subsubsection{Algorithmus}
+Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
\begin{itemize}
\item Startbedingungen:
\begin{align*}
@@ -163,10 +207,10 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k \end{aligned}
\]
\item
-Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$
+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$.
\end{itemize}
-Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
%Code
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file |