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diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 67bcca0..81821c1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -1,13 +1,16 @@ -\section{Elliptische rationale Funktionen} +\section{Rationale elliptische Funktionen} -Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} +Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. -Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. +Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben. +Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird. +Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. +Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht. Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome. @@ -24,12 +27,12 @@ Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktio \label{ellfilter:fig:cd} \end{figure} Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. -Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. +Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} \caption{ - $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. + $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen. Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt. } @@ -37,13 +40,10 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, \end{figure} Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen. Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen. -Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden. +Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden. Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden. -% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. -Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. -Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. -Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. +% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf} @@ -51,6 +51,10 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funk \label{ellfilter:fig:elliptic_freq} \end{figure} +Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. +Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. +Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. + \subsection{Gradgleichung} Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden. @@ -75,26 +79,54 @@ Algebraisch kann so die Gradgleichung N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} \end{equation} aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch -\begin{equation} %TODO check +\begin{equation}\label{ellfilter:eq:degeqsol} k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg), \quad \text{wobei} \quad N = 2L+r. \end{equation} Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. -% \begin{figure} -% \centering -% \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz} -% \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.} -% \end{figure} +\subsection{Berechnung der rationalen Funktion} -\subsection{Schlussfolgerung} +$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten. +Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden. +% $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden. +Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich. +Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit. +Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex} + \caption{ + Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion. + } + \label{ellfilter:fig:pn} +\end{figure} +Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind. +Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet: +\begin{align} + n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\ + p_i(k) &= n_i + jK^\prime. +\end{align} +Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion +\begin{equation} + R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)}, +\end{equation} +wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$. -Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. -Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. -Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. +\section{Elliptisches Filter} -% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. +Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$. +Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei +\begin{equation} + |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*), +\end{equation} +wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet. +Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen. +Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen. +% \subsection{Schlussfolgerung} +% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. +% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. +% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. |