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diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 861600b..8c60e46 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -6,47 +6,26 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} - - -sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} +Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht. +Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome. - - -Sinus entspricht $\sn$ - -Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden. - +Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{buch:elliptisch:fig:ellall} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden. Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex} \caption{ - $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$. + $z$-Ebene der Funktion $z = \cd^{-1}(w, k)$. Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch. } \label{ellfilter:fig:cd} \end{figure} -Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben. - -Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden. -Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex} - \caption{ - Fundamentales Rechteck der inversen Jacobi elliptischen Funktionen. - } - \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} -\end{figure} - -Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. -Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$. -Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. - - +Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. +Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$. %TODO Check +Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen. \begin{figure} @@ -60,20 +39,10 @@ Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den ellipti \end{figure} % Da die $\cd^{-1}$-Funktion - - -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf} - \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.} - \label{ellfilter:fig:elliptic} -\end{figure} - - \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf} - \caption{Die resultierende frequenzantwort eines elliptischs filter.} + \caption{$F_N$ und die resultierende Frequenzantwort eines elliptischen Filters.} \label{ellfilter:fig:elliptic_freq} \end{figure} @@ -90,6 +59,10 @@ Dies trifft ein wenn die Gradengleichung erfüllt ist. Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial. Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. +$K$ und $K^\prime$ sind voneinender abhängig. + +Das Problem lässt sich grafisch darstellen. + \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/k.pgf} @@ -108,8 +81,6 @@ Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.} \end{figure} - - \subsection{Polynome?} Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. |