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--- a/buch/papers/ellfilter/main.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/main.tex
@@ -8,485 +8,10 @@
\begin{refsection}
\chapterauthor{Nicolas Tobler}
+\input{papers/ellfilter/einleitung.tex}
+\input{papers/ellfilter/tschebyscheff.tex}
+\input{papers/ellfilter/jacobi.tex}
+\input{papers/ellfilter/elliptic.tex}
-\section{Einleitung}
-
-% Lineare filter
-
-% Filter, Signalverarbeitung
-
-
-Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter.
-Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen.
-
-% Bei der Implementierung von Filtern
-
-In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
-Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen.
-Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
-
-
-\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega}
- | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
-\end{equation}
-
-$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz
-
-
-% Linear filter
-Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen.
-
-$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-
-Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren.
-Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$.
-Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf}
- \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
- \label{ellfilter:fig:butterworth}
-\end{figure}
-
-wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?
-
-\begin{align}
- F_N(w) & =
- \begin{cases}
- w^N & \text{Butterworth} \\
- T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\
- [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\
- R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\
- \end{cases}
-\end{align}
-
-Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
-Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete.
-Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
-Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
-Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
-
-\section{Tschebyscheff-Filter}
-
-Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
-Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.
-
-Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
-\begin{align}
- T_{0}(x)&=1\\
- T_{1}(x)&=x\\
- T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\
- T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\
- T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x).
-\end{align}
-Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion
-\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
- T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
- &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
-\end{align}
-übereinstimmt.
-Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf}
- \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.}
- \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials}
-\end{figure}
-Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
-Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
-Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
-Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
- \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.}
- \label{ellfiter:fig:chebychef}
-\end{figure}
-
-
-Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
-
-Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
-Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden:
-\begin{align}
- \cos^{-1}(x)
- &=
- \int_{x}^{1}
- \frac{
- dz
- }{
- \sqrt{
- 1-z^2
- }
- }\\
- &=
- \int_{0}^{x}
- \frac{
- -1
- }{
- \sqrt{
- 1-z^2
- }
- }
- ~dz
- + \frac{\pi}{2}
-\end{align}
-Der Integrand oder auch die Ableitung
-\begin{equation}
- \frac{
- -1
- }{
- \sqrt{
- 1-z^2
- }
- }
-\end{equation}
-bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft.
-Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
-Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
-Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
-Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
-Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
- \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
- \label{ellfilter:fig:arccos}
-\end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen.
-% \begin{equation}
-% \frac{
-% 1
-% }{
-% \sqrt{
-% 1-z^2
-% }
-% }
-% \in \mathbb{R}
-% \quad
-% \forall
-% \quad
-% -1 \leq z \leq 1
-% \end{equation}
-% \begin{equation}
-% \frac{
-% 1
-% }{
-% \sqrt{
-% 1-z^2
-% }
-% }
-% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
-% \quad
-% \forall
-% \quad
-% z \leq -1 \cup z \geq 1
-% \end{equation}
-
-Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
- \caption{
- $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
- Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$.
- Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
- }
- \label{ellfilter:fig:arccos2}
-\end{figure}
-Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen.
-Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
-
-\section{Jacobische elliptische Funktionen}
-
-%TODO $z$ or $u$ for parameter?
-
-Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
-Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.
-
-Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.
-Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
-Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
-Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert.
-Zum andern das Winkelargument $z$.
-Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
-Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
-Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
-Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
-\begin{equation}
- z
- =
- F(\phi, k)
- =
- \int_{0}^{\phi}
- \frac{
- d\theta
- }{
- \sqrt{
- 1-k^2 \sin^2 \theta
- }
- }
- =
- \int_{0}^{\phi}
- \frac{
- dt
- }{
- \sqrt{
- (1-t^2)(1-k^2 t^2)
- }
- } %TODO which is right? are both functions from phi?
-\end{equation}
-mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.
-
-Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
-Beim vollständigen Integral
-\begin{equation}
- K(k)
- =
- \int_{0}^{\pi / 2}
- \frac{
- d\theta
- }{
- \sqrt{
- 1-k^2 \sin^2 \theta
- }
- }
-\end{equation}
-wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
-Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
-Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
-
-Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$.
-Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen.
-Insgesamt sind es die zwölf Funktionen
-\begin{equation*}
- \sn \quad
- \ns \quad
- \scelliptic \quad
- \sd \quad
- \cn \quad
- \nc \quad
- \cs \quad
- \cd \quad
- \dn \quad
- \nd \quad
- \ds \quad
- \dc.
-\end{equation*}
-
-Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art
-\begin{equation}
- \phi = F^{-1}(z, k)
-\end{equation}
-definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird, also
-\begin{equation}
- z = F(\phi, k)
- \Leftrightarrow
- \phi = F^{-1}(z, k).
-\end{equation}
-Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden:
-\begin{equation}
- \sin(\phi)
- =
- \sin \left( F^{-1}(z, k) \right)
- =
- \sn(z, k)
- =
- w
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- \phi
- =
- F^{-1}(z, k)
- =
- \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
- =
- \sin^{-1} ( w )
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- F(\phi, k)
- =
- z
- =
- F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
- =
- F( \sin^{-1} ( w ), k)
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- \sn^{-1}(w, k)
- =
- F(\phi, k),
- \quad
- \phi = \sin^{-1}(w)
-\end{equation}
-
-\begin{align}
- \sn^{-1}(w, k)
- & =
- \int_{0}^{\phi}
- \frac{
- d\theta
- }{
- \sqrt{
- 1-k^2 \sin^2 \theta
- }
- },
- \quad
- \phi = \sin^{-1}(w)
- \\
- & =
- \int_{0}^{w}
- \frac{
- dt
- }{
- \sqrt{
- (1-t^2)(1-k^2 t^2)
- }
- }
-\end{align}
-
-Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
-Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
-Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
-Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
-\begin{equation}
- \frac{
- 1
- }{
- \sqrt{
- (1-t^2)(1-k^2 t^2)
- }
- }
- \in \mathbb{R}
- \quad \forall \quad
- -1 \leq t \leq 1
-\end{equation}
-Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.
-
-
-
-
-Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch
-
-In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.
-
-
-
-%TODO sn^{-1} grafik
-
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
- \caption{
- $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
- Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
- }
- % \label{ellfilter:fig:cd2}
-\end{figure}
-
-\section{Elliptische rationale Funktionen}
-
-Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen
-\begin{align}
- R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\
- &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
- &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
-\end{align}
-
-
-sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
-Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
-Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
-Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht.
-
-
-
-Sinus entspricht $\sn$
-
-Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden.
-
-Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
- \caption{
- $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
- Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
- }
- \label{ellfilter:fig:cd}
-\end{figure}
-Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben.
-
-Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
-Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex}
- \caption{
- Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen.
- }
- \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle}
-\end{figure}
-
-Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
-Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$.
-Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-
-
-
-Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen.
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
- \caption{
- $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
- Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert.
- }
- \label{ellfilter:fig:cd2}
-\end{figure}
-% Da die $\cd^{-1}$-Funktion
-
-
-
-\begin{figure}
- \centering
- \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf}
- \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.}
- \label{ellfilter:fig:elliptic}
-\end{figure}
-
-\subsection{Degree Equation}
-
-Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft.
-Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist.
-
-\begin{equation}
- N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
-\end{equation}
-
-
-Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial.
-Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-
-
-\subsection{Polynome?}
-
-Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
-Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
-Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
-
-Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
-
-\input{papers/ellfilter/teil0.tex}
-\input{papers/ellfilter/teil1.tex}
-\input{papers/ellfilter/teil2.tex}
-\input{papers/ellfilter/teil3.tex}
-
-% \printbibliography[heading=subbibliography]
+\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
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