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diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 7d426b6..639c87c 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -1,9 +1,8 @@ \section{Tschebyscheff-Filter} -Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. -Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon. - -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind: +Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. +Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: \begin{align} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ @@ -16,7 +15,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) \end{align} -übereinstimmt. +übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. \begin{figure} @@ -28,7 +27,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-P Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. -Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. +Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf} @@ -36,12 +35,11 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraus \label{ellfiter:fig:chebychef} \end{figure} - Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. -Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. +Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. -Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. -Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden: +Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. +Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} \cos^{-1}(x) &= @@ -63,9 +61,9 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt wer } } ~dz - + \frac{\pi}{2} + + \frac{\pi}{2}. \end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung +Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ \begin{equation} \frac{ -1 @@ -75,59 +73,37 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung } } \end{equation} -bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft. +bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} \label{ellfilter:fig:arccos} \end{figure} -Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen. -% \begin{equation} -% \frac{ -% 1 -% }{ -% \sqrt{ -% 1-z^2 -% } -% } -% \in \mathbb{R} -% \quad -% \forall -% \quad -% -1 \leq z \leq 1 -% \end{equation} -% \begin{equation} -% \frac{ -% 1 -% }{ -% \sqrt{ -% 1-z^2 -% } -% } -% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R} -% \quad -% \forall -% \quad -% z \leq -1 \cup z \geq 1 -% \end{equation} +Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch. +Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion. + -Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. +Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. +Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} \caption{ $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. - Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. + Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen. + Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz. + Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus. } \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} -Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen. -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. +Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind. |