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diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 639c87c..0a48949 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: \begin{align} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ @@ -17,7 +17,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri \end{align} übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome, wobei das Equiripple-Verhalten schon sichtbar ist. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} @@ -37,7 +37,6 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. - Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} @@ -63,7 +62,7 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt we ~dz + \frac{\pi}{2}. \end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ +Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$, \begin{equation} \frac{ -1 @@ -71,7 +70,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ \sqrt{ 1-z^2 } - } + }, \end{equation} bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. @@ -91,19 +90,19 @@ Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. -Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. -Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. +Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} \caption{ $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equiripple-Verhalten führen. Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz. Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus. } \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. -Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet. +Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. |