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diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 0a48949..327c5e7 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -36,7 +36,7 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder \end{figure} Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. -Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. +Die genauere Betrachtung wird uns helfen, die elliptischen Filter besser zu verstehen. Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} @@ -73,7 +73,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$, }, \end{equation} bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. -Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. +Der reelle Arcuscosinus ist bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. @@ -82,10 +82,11 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebe \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} - \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} + \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen Ebene.} \label{ellfilter:fig:arccos} \end{figure} -Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch. +Wegen der Periodizität des Kosinus werden periodisch Werte in der $z$-Ebene auf den gleichen Wert in $w$ abgebildet. +Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor. Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion. @@ -105,4 +106,4 @@ Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Null \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet. -Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. +Für $|w| \le 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. |