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diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 0a48949..84095a7 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -3,17 +3,17 @@ Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: -\begin{align} +\begin{align*} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). -\end{align} +\end{align*} Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion \begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ - &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) + &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2} \end{align} übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. @@ -36,7 +36,7 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder \end{figure} Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. -Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. +Die genauere Betrachtung wird uns helfen, die elliptischen Filter besser zu verstehen. Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} @@ -73,7 +73,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$, }, \end{equation} bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. -Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. +Der reelle Arcuscosinus ist bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. @@ -82,14 +82,15 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebe \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} - \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} + \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen Ebene.} \label{ellfilter:fig:arccos} \end{figure} -Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch. +Wegen der Periodizität des Kosinus werden periodisch Werte in der $z$-Ebene auf den gleichen Wert in $w$ abgebildet. +Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor. Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion. -In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. +In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} @@ -105,4 +106,4 @@ Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Null \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet. -Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. +Für $|w| \le 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. |