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diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index 0f2c838..a49b21d 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -198,28 +198,54 @@ Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. \subsection{Bessel und Frequenzspektrum} Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion. -Um sich die Besselfunktion noch einwenig Bildlicher vorzustellen, sieht \(J_{n}(\beta)\) geplottet so aus: + +Nochmals zur erinnerung sah unser Träger Signal anfangs so aus: +\(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c(t)+\varphi)\), dabei modulierten wir den parameter \( \varphi = \beta\sin(\omega_mt) \). +Davon sahen wir das sich ursprünglich unser Signal\(m_{FM}(t) = \cos(\omega_m t)\) war. +Wie das Beat zusammenhängt sieht man im Abschnitt ( ref). +Wird es weiter transformiert zur Summe, so erhält man ein +\[ + x_{FM} = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t). +\] +Diese Summe nun Fourier Transformiert ergibt +\[ + x_{FM} = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cdot \frac{1}{2} \biggl( e^{j(\omega_c+ n\omega_m)t}\;+\; e^{-j(\omega_c+ n\omega_m)t}\biggr). +\] +Dies ergibt wiederum zwei dirac impulse im Frequenzbereich, aber pro Summand mit der Gewichtung der Besselfunktion indices und deren \(\beta\). +Gegeneüber \textit{AM} hat sich \textit{FM} zu einer Summe mit gewichtungen der Besselfunktion verändert. +Überall wo die Besselfunktion gegn 0 tendiert können wir diese Summand vernachlässigen. +Um dies zu sehn plotten wir einmal \(J_{n}(\beta)\): \begin{figure} \centering \input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf} \caption{Bessle Funktion \(J_{n}(\beta)\)} \label{fig:bessel} \end{figure} +Hier sieht man gut das für kleine \( \beta \lessgtr \) nur die ersten Summanden \( n\) zuständig sind. +So kann man mit dem \(\beta\) gut bestimmen bis wo die Summe berchnet werden soll. -Nun hat es in der Reihe drei Parameter um unser FM Signal zu verändern, das wären \( \beta, \omega_c, \omega_m\) -Gegeneüber \textit{AM} kommt der parameter \( \beta\) hinzu. -Da das \(\beta\) unäbhängig von \(\omega_m\) und nicht in der Funktion selbs ist vereinfacht sich die Berechnung extrem, um herauszufinden wo unser Nachrichtensignal sich befindet. -Zuerst entdecken wir was diese einzelne Unabhängigen parameter verändern. +Für ein Beispiel nehmen wir \(\beta = ... \omega_m = ... \) +Dann sieht unser \(x_{FM}\) so aus: +\begin{figure} + \centering + + \caption{Beispiel eines FM Übertragenen Signal} + \label{fig:bessel} +\end{figure} +Nun verändern wir die drei Parameter \(\beta \omega_c \omega_m \) und sehen was sich verändern wird \subsubsection{Beta} -Beat ist wie die Phasenverschiebung Varphi -\newpage +Da \(\beta\) in keiner abhängigkeit zo den anderen parameter steht, und jegliglich die anzahl der nötigen Summanden bestimmt. +So wird es auch diese Anzahl bestimmen was man hier sehen kann. \subsubsection{omega c} -\newpage +Dieser ist unser Trägerfrequenz auf die unser Signal aufmoduliert wurde, diese bestimmt die Frequenz in welchem sich das signal befindet \subsubsection{omega m} -\newpage -TODO Grafik einfügen, +Dieser parametr hat unsere bandbreite auf welchem unser Moduliertes Signal \(x_{AM}\) befindet bestimmt, auch im FM wird es wieder die Bandbreite bestimmen, was wir hier sehen. + +Nun einmal das Modulierte FM signal mit dem \(\beta = \omega_m = \) berechnet: + -Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt TODO Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. |