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diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index 3c2cb71..a49b21d 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -196,16 +196,56 @@ Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. \newpage %----------------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Bessel und Frequenzspektrum} -Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. +Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion. + + +Nochmals zur erinnerung sah unser Träger Signal anfangs so aus: +\(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c(t)+\varphi)\), dabei modulierten wir den parameter \( \varphi = \beta\sin(\omega_mt) \). +Davon sahen wir das sich ursprünglich unser Signal\(m_{FM}(t) = \cos(\omega_m t)\) war. +Wie das Beat zusammenhängt sieht man im Abschnitt ( ref). +Wird es weiter transformiert zur Summe, so erhält man ein +\[ + x_{FM} = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t). +\] +Diese Summe nun Fourier Transformiert ergibt +\[ + x_{FM} = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cdot \frac{1}{2} \biggl( e^{j(\omega_c+ n\omega_m)t}\;+\; e^{-j(\omega_c+ n\omega_m)t}\biggr). +\] +Dies ergibt wiederum zwei dirac impulse im Frequenzbereich, aber pro Summand mit der Gewichtung der Besselfunktion indices und deren \(\beta\). +Gegeneüber \textit{AM} hat sich \textit{FM} zu einer Summe mit gewichtungen der Besselfunktion verändert. +Überall wo die Besselfunktion gegn 0 tendiert können wir diese Summand vernachlässigen. +Um dies zu sehn plotten wir einmal \(J_{n}(\beta)\): \begin{figure} \centering \input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf} - \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} + \caption{Bessle Funktion \(J_{n}(\beta)\)} + \label{fig:bessel} +\end{figure} +Hier sieht man gut das für kleine \( \beta \lessgtr \) nur die ersten Summanden \( n\) zuständig sind. +So kann man mit dem \(\beta\) gut bestimmen bis wo die Summe berchnet werden soll. + +Für ein Beispiel nehmen wir \(\beta = ... \omega_m = ... \) +Dann sieht unser \(x_{FM}\) so aus: +\begin{figure} + \centering + + \caption{Beispiel eines FM Übertragenen Signal} \label{fig:bessel} \end{figure} -TODO Grafik einfügen, -\newline -Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt +Nun verändern wir die drei Parameter \(\beta \omega_c \omega_m \) und sehen was sich verändern wird +\subsubsection{Beta} +Da \(\beta\) in keiner abhängigkeit zo den anderen parameter steht, und jegliglich die anzahl der nötigen Summanden bestimmt. +So wird es auch diese Anzahl bestimmen was man hier sehen kann. +\subsubsection{omega c} +Dieser ist unser Trägerfrequenz auf die unser Signal aufmoduliert wurde, diese bestimmt die Frequenz in welchem sich das signal befindet +\subsubsection{omega m} +Dieser parametr hat unsere bandbreite auf welchem unser Moduliertes Signal \(x_{AM}\) befindet bestimmt, auch im FM wird es wieder die Bandbreite bestimmen, was wir hier sehen. + +Nun einmal das Modulierte FM signal mit dem \(\beta = \omega_m = \) berechnet: + + TODO Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. @@ -214,6 +254,7 @@ Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. \end{itemize} +\newpage %\subsection{De finibus bonorum et malorum |