14 files changed, 617 insertions, 147 deletions
diff --git a/buch/papers/fresnel/Makefile b/buch/papers/fresnel/Makefile
index c8aa073..11af3a7 100644
--- a/buch/papers/fresnel/Makefile
+++ b/buch/papers/fresnel/Makefile
@@ -1,9 +1,22 @@
 #
 # Makefile -- make file for the paper fresnel
 #
-# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Mueller
 #
+all:	fresnelgraph.pdf eulerspirale.pdf pfad.pdf
 
 images:
 	@echo "no images to be created in fresnel"
 
+eulerpath.tex:	eulerspirale.m
+	octave eulerspirale.m
+
+fresnelgraph.pdf:	fresnelgraph.tex eulerpath.tex
+	pdflatex fresnelgraph.tex
+
+eulerspirale.pdf:	eulerspirale.tex eulerpath.tex
+	pdflatex eulerspirale.tex
+
+pfad.pdf:	pfad.tex
+	pdflatex pfad.tex
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m
new file mode 100644
index 0000000..84e3696
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m
@@ -0,0 +1,61 @@
+#
+# eulerspirale.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+#
+global n;
+n = 1000;
+global tmax;
+tmax = 10;
+global N;
+N = round(n*5/tmax);
+
+function retval = f(x, t)
+	x = pi * t^2 / 2;
+	retval = [ cos(x); sin(x) ];
+endfunction
+
+x0 = [ 0; 0 ];
+t = tmax * (0:n) / n;
+
+c = lsode(@f, x0, t);
+
+fn = fopen("eulerpath.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)");
+for i = (2:n)
+	fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)");
+for i = (2:n)
+	fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)");
+for i = (2:N)
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)");
+for i = (2:N)
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)");
+for i = (2:N)
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)");
+for i = (2:N)
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2));
+end
+fprintf(fn, "\n}\n\n");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4a85a50
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex
new file mode 100644
index 0000000..38ef756
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% eulerspirale.tex -- Darstellung der Eulerspirale
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{eulerpath.tex}
+
+\def\s{8}
+
+\begin{scope}[scale=\s]
+\draw[color=blue] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5);
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnela;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnelb;
+\fill[color=blue] (0.5,0.5) circle[radius={0.1/\s}];
+\fill[color=blue] (-0.5,-0.5) circle[radius={0.1/\s}];
+\draw (-0.5,{-0.05/\s}) -- (-0.5,{0.05/\s});
+\draw (0.5,{-0.05/\s}) -- (0.5,{-0.05/\s});
+\node at (-0.5,0) [above left] {$\frac12$};
+\node at (0.5,0) [below right] {$\frac12$};
+\node at (0,-0.5) [below right] {$\frac12$};
+\node at (0,0.5) [above left] {$\frac12$};
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$C(x)$}];;
+\draw[->] (0,-5.8) -- (0,6.1) coordinate[label={left:$S(x)$}];;
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9ccad56
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex
new file mode 100644
index 0000000..20df951
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% fresnelgraph.tex -- Graphs of the fresnel functions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{eulerpath.tex}
+\def\dx{1.3}
+\def\dy{2.6}
+
+\draw[color=gray] (0,{0.5*\dy}) -- ({5*\dx},{0.5*\dy});
+\draw[color=gray] (0,{-0.5*\dy}) -- ({-5*\dx},{-0.5*\dy});
+
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotright;
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotleft;
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotright;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotleft;
+
+\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-2.3) -- (0,2.3) coordinate[label={$y$}];
+
+\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+	\draw ({\x*\dx},-0.05) -- ({\x*\dx},0.05);
+	\draw ({-\x*\dx},-0.05) -- ({-\x*\dx},0.05);
+	\node at ({\x*\dx},-0.05) [below] {$\x$};
+	\node at ({-\x*\dx},0.05) [above] {$-\x$};
+}
+\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy});
+\node at (-0.05,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$};
+\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy});
+\node at (0.05,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex
index bbaf7e6..e6ee3b5 100644
--- a/buch/papers/fresnel/main.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/main.tex
@@ -3,29 +3,11 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:fresnel}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Fresnel-Integrale\label{chapter:fresnel}}
+\lhead{Fresnel-Integrale}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Andreas Müller}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
 \input{papers/fresnel/teil0.tex}
 \input{papers/fresnel/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/pfad.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ff514cc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/pfad.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/pfad.tex
new file mode 100644
index 0000000..5439a71
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/pfad.tex
@@ -0,0 +1,34 @@
+%
+% pfad.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}];
+\draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}];
+
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (7,0);
+\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (7,0) arc (0:45:7);
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] (45:7) -- (0,0);
+
+\node[color=red] at (3.5,0) [below] {$\gamma_1(t) = tR$};
+\node[color=blue] at (25:7) [right] {$\gamma_2(t) = Re^{it}$};
+\node[color=darkgreen] at (45:3.5) [above left] {$\gamma_3(t) = te^{i\pi/4}$};
+
+\node at (7,0) [below] {$R$};
+\node at (45:7) [above] {$Re^{i\pi/4}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib
index 84cd3bc..58e9242 100644
--- a/buch/papers/fresnel/references.bib
+++ b/buch/papers/fresnel/references.bib
@@ -33,3 +33,14 @@
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
 
+@online{fresnel:fresnelC,
+	url = { https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelC/introductions/FresnelIntegrals/ShowAll.html },
+	title = { FresnelC },
+	date = { 2022-05-13 }
+}
+
+@online{fresnel:wikipedia,
+	url = { https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral },
+	title = { Fresnel Integral },
+	date = { 2022-05-13 }
+}
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex
index 5e9fdaf..253e2f3 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex
@@ -1,22 +1,101 @@
 %
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+% teil0.tex -- Definition
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 0\label{fresnel:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{fresnel:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Definition\label{fresnel:section:teil0}}
+\rhead{Definition}
+Die Funktion $e^{x^2}$ hat bekanntermassen keine elementare Stammfunktion,
+weshalb die Fehlerfunktion als Stammfunktion definiert wurde.
+Die Funktionen $\cos x^2$ und $\sin x^2$ sind eng mit $e^{x^2}$
+verwandt, es ist daher nicht überraschend, dass sie ebenfalls
+keine elementare Stammfunktionen haben.
+Dies rechtfertigt die Definition der Fresnel-Integrale als neue spezielle
+Funktionen.
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\begin{definition}
+Die Funktionen 
+\begin{align*}
+C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
+\\
+S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
+\end{align*}
+heissen die Fesnel-Integrale.
+\end{definition}
 
+Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte
+daher noch allgemeiner die Funktionen
+\begin{align*}
+C_a(x) &= \int_0^x \cos(at^2)\,dt
+\\
+S_a(x) &= \int_0^x \sin(at^2)\,dt
+\end{align*}
+definieren, so dass die Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ der Fall
+$a=\frac{\pi}2$ werden, also
+\[
+\begin{aligned}
+C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x),
+&
+S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x).
+\end{aligned}
+\]
+Durch eine Substution $t=bs$ erhält man
+\begin{align*}
+C_a(x)
+&=
+\int_0^x \cos(at^2)\,dt
+=
+b
+\int_0^{\frac{x}b} \cos(ab^2s^2)\,ds
+=
+b
+C_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr)
+\\
+S_a(x)
+&=
+\int_0^x \sin(at^2)\,dt
+=
+b
+\int_0^{\frac{x}b} \sin(ab^2s^2)\,ds
+=
+b
+S_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr).
+\end{align*}
+Indem man $ab^2=\frac{\pi}2$ setzt, also
+\[
+b
+=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+,
+\]
+kann man die Funktionen $C_a(x)$ und $S_a(x)$ durch $C(x)$ und $S(x)$
+ausdrücken:
+\begin{align}
+C_a(x)
+&=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+C\biggl(x
+\sqrt{\frac{2a}{\pi}}
+\biggr)
+&&\text{und}&
+S_a(x)
+&=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+S\biggl(x
+\sqrt{\frac{2a}{\pi}}
+\biggr).
+\label{fresnel:equation:arg}
+\end{align}
+Im Folgenden werden wir meistens nur den Fall $a=1$, also die Funktionen
+$C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher
+werden.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf}
+\caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) 
+und $S(x)$ ({\color{blue}blau})
+\label{fresnel:figure:plot}}
+\end{figure}
+Die Abbildung~\ref{fresnel:figure:plot} zeigt die Graphen der
+Funktion $C(x)$ und $S(x)$.
 
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex
index a2df138..a41ddb7 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex
@@ -1,55 +1,202 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% teil1.tex -- Euler-Spirale
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
-\label{fresnel:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{fresnel:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
+\section{Euler-Spirale
+\label{fresnel:section:eulerspirale}}
+\rhead{Euler-Spirale}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/eulerspirale.pdf}
+\caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung
+$x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt.
+Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$.
+\label{fresnel:figure:eulerspirale}}
+\end{figure}
+Ein besseres Verständnis für die beiden Funktionen $C(x)$ und $S(x)$
+als die Darstellung~\ref{fresnel:figure:plot} ermöglicht die
+Abbildung~\ref{fresnel:figure:eulerspirale}, die die beiden Funktionen
+als die $x$- und $y$-Koordinaten der Parameterdarstellung einer Kurve
+zeigt.
+Sie heisst die {\em Euler-Spirale}.
+Die Spirale scheint sich für $x\to\pm\infty$ um die Punkte
+$(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden.
 
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/pfad.pdf}
+\caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und
+$S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes
+\label{fresnel:figure:pfad}}
+\end{figure}
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{fresnel:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
 
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{fresnel:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{fresnel:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\begin{satz}
+Die Grenzwerte der Fresnel-Integrale für $x\to\pm\infty$ sind
+\[
+\lim_{x\to\pm\infty} C(x)
+=
+\lim_{x\to\pm\infty} S(x)
+=
+\frac12.
+\]
+\end{satz}
 
+\begin{proof}[Beweis]
+Die komplexe Funktion 
+\(
+f(z) = e^{-z^2}
+\)
+ist eine ganze Funktion, das Integral über einen geschlossenen
+Pfad in der komplexen Ebene verschwindet daher.
+Wir verwenden den Pfad in Abbildung~\ref{fresnel:figure:pfad}
+bestehend aus den drei Segmenten $\gamma_1$ entlang der reellen
+Achse von $0$ bis $R$, dem Kreisbogen $\gamma_2$ um $0$ mit Radius $R$
+und $\gamma_3$ mit der Parametrisierung $t\mapsto te^{i\pi/4}$.
+
+Das Teilintegral über $\gamma_1$ ist
+\[
+\lim_{R\to\infty}
+\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz
+=
+\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt
+=
+\frac{\sqrt{\pi}}2.
+\]
+Das Integral über $\gamma_3$ ist
+\begin{align*}
+\lim_{R\to\infty}
+\int_{\gamma_3} 
+e^{-z^2}\,dz
+&=
+-\int_0^\infty \exp(-t^2 e^{i\pi/2}) e^{i\pi/4}\,dt
+=
+-
+\int_0^\infty e^{-it^2}\,dt\,
+e^{i\pi/4}
+\\
+&=
+-e^{i\pi/4}\int_0^\infty \cos t^2 - i \sin t^2\,dt
+\\
+&=
+-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
+\bigl(
+C_1(\infty)
+-i
+S_1(\infty)
+\bigr)
+\\
+&=
+-\frac{1}{\sqrt{2}}
+\bigl(
+C_1(\infty)+S_1(\infty)
++
+i(C_1(\infty)-S_1(\infty))
+\bigr),
+\end{align*}
+wobei wir
+\[
+C_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} C_1(R)
+\qquad\text{und}\qquad
+S_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} S_1(R)
+\]
+abgekürzt haben.
 
+Das Integral über das Segment $\gamma_2$ lässt sich
+mit der Parametrisierung
+\(
+\gamma_2(t)
+=
+Re^{it}
+=
+R(\cos t + i\sin t)
+\)
+wie folgt
+abschätzen:
+\begin{align*}
+\biggl|\int_{\gamma_2} e^{-z^2} \,dz\biggr|
+&=
+\biggl|
+\int_0^{\frac{\pi}4}
+\exp(-R^2(\cos 2t + i\sin 2t)) iR e^{it}\,dt
+\biggr|
+\\
+&\le
+R
+\int_0^{\frac{\pi}4}
+e^{-R^2\cos 2t}
+\,dt
+\le
+R
+\int_0^{\frac{\pi}4}
+e^{-R^2(1-\frac{4}{\pi}t)}
+\,dt.
+\intertext{Dabei haben wir $\cos 2t\ge 1-\frac{4}\pi t$ verwendet.
+Mit dieser Vereinfachung kann das Integral ausgewertet werden und
+ergibt}
+&=
+Re^{-R^2}
+\int_0^{\frac{\pi}4}
+e^{R^2\frac{\pi}4t}
+\,dt
+=
+Re^{-R^2}
+\biggl[
+\frac{4}{\pi R^2}
+e^{R^2\frac{\pi}4t}
+\biggr]_0^{\frac{\pi}4}
+=
+\frac{4}{\pi R}
+e^{-R^2}(e^{R^2}-1)
+=
+\frac{4}{\pi R}
+(1-e^{-R^2})
+\to 0
+\end{align*}
+für $R\to \infty$.
+Im Grenzwert $R\to \infty$ kann der Teil $\gamma_2$ des Pfades
+vernachlässigt werden.
+
+Das Integral über den geschlossenen Pfad $\gamma$ verschwindet.
+Da der Teil $\gamma_2$ keine Rolle spielt, müssen sich die
+Integrale über $\gamma_1$ und $\gamma_3$ wegheben, also
+\begin{align*}
+0
+=
+\int_\gamma e^{-z^2}\,dz
+&=
+\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz
++
+\int_{\gamma_2} e^{-z^2}\,dz
++
+\int_{\gamma_3} e^{-z^2}\,dz
+\\
+&\to
+\frac{\sqrt{\pi}}2
+-\frac{1}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)+S_1(\infty))
+-\frac{i}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)-S_1(\infty)).
+\end{align*}
+Der Imaginärteil ist $C_1(\infty)-S_1(\infty)$, da er verschwinden
+muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$.
+Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch
+der Realteil verschwinden muss
+\[
+\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty)
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+C_1(\infty)
+=
+S_1(\infty)
+=
+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}.
+\]
+Aus
+\eqref{fresnel:equation:arg}
+erhält man dann auch die Grenzwerte
+\[
+C(\infty)=S(\infty)=\frac12.
+\qedhere
+\]
+\end{proof}
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex
index 701c3ee..22d2a89 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex
@@ -3,38 +3,22 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
-\label{fresnel:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\section{Klothoide
+\label{fresnel:section:klothoide}}
+\rhead{Klothoide}
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Krümmung der 
+Euler-Spirale proportional zur vom Nullpunkt aus gemessenen Bogenlänge
+ist.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{fresnel:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\begin{definition}
+Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist,
+heisst {\em Klothoide}.
+\end{definition}
 
+Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau bei Autobahnkurven
+angewendet.
+Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit mit entlang einer Klothoide,
+muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern,
+also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen.
+Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise.
 
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex
index d4f15f6..37e6bee 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex
@@ -3,38 +3,110 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
-\label{fresnel:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\section{Numerische Berechnung der Fresnel-Integrale
+\label{fresnel:section:numerik}}
+\rhead{Numerische Berechnung}
+Die Fresnel-Integrale können mit verschiedenen Methoden effizient berechnet
+werden.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{fresnel:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\subsection{Komplexe Fehlerfunktionen}
+Es wurde schon darauf hingewiesen, dass der Integrand der Fresnel-Integrale
+mit $e^{t^2}$ verwandt ist.
+Tatsächlich kann gezeigt werden dass sich die Fresnel-Integrale mit 
+Hilfe der komplexen Fehlerfunktion als
+\[
+\left.
+\begin{matrix}
+S_1(z)
+\\
+C_1(z)
+\end{matrix}
+\;
+\right\}
+=
+\frac{1\pm i}4\biggl(
+\operatorname{erf}\biggl(\frac{1+i}2\sqrt{\pi}z\biggr)
+\mp
+\operatorname{erf}\biggl(\frac{1-i}2\sqrt{\pi}z\biggr)
+\biggr)
+\]
+ausdrücken lassen \cite{fresnel:fresnelC}.
+Diese Darstellung ist jedoch für die numerische Berechnung nur
+beschränkt nützlich, weil die meisten Bibliotheken für die Fehlerfunktion
+diese nur für reelle Argument auszuwerten gestatten.
+
+\subsection{Als Lösung einer Differentialgleichung}
+Da die Fresnel-Integrale die sehr einfachen Differentialgleichungen
+\[
+C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr)
+\qquad\text{und}\qquad
+S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr)
+\]
+erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung
+verwenden.
+Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale}
+wurden auf diese Weise erzeugt.
+
+\subsection{Taylor-Reihe integrieren}
+Die Taylorreihen
+\begin{align*}
+\cos x
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
+&&\text{und}&
+\sin x
+&= 
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}
+\intertext{%
+der trigonometrischen Funktionen werden durch Einsetzen von $x=t^2$
+zu}
+\cos t^2
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{4k}
+&&\text{und}&
+\sin t^2
+&= 
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^{4k+2}.
+\intertext{%
+Die Fresnel-Integrale $C_1(x)$ und $S_1(x)$ können daher durch
+termweise Integration mit Hilfe der Reihen}
+C_1(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{x^{4k+1}}{4k+1}
+&&\text{und}&
+S_1(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{x^{4k+3}}{4k+3}
+\end{align*}
+berechnet werden.
+Diese Reihen sind insbesondere für kleine Werte von $x$ sehr
+schnell konvergent.
+
+\subsection{Hypergeometrische Reihen}
+Aus der Reihenentwicklung kann jetzt auch eine Darstellung der
+Fresnel-Integrale durch hypergeometrische Reihen gefunden werden
+\cite{fresnel:fresnelC}.
+Es ergibt sich
+\begin{align*}
+S(z)
+&=
+\frac{\pi z^3}{6}
+\cdot
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix}
+;
+-\frac{\pi^2z^4}{16}
+\biggr)
+\\
+C(z)
+&=
+z
+\cdot
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix}
+;
+-\frac{\pi^2z^4}{16}
+\biggr).
+\end{align*}