diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/kra/anwendung.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/kra/anwendung.tex | 51 |
1 files changed, 14 insertions, 37 deletions
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index ee42b64..dbe1171 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -1,6 +1,5 @@ \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}} \rhead{Anwendung} -\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. @@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, -wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse. +Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$. +Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$ \begin{equation} - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{\displaystyle{\tilde{G}}} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix}. -\end{equation} -Ausgeschrieben folgt -\begin{align*} - \dot{Q} = AQ + BP \\ - \dot{P} = CQ + DP -\end{align*} -\begin{equation} - \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} - \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ - &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ - &= C + DU - UA - UBU + \dt U &= K + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\ + &= K + U(t)MU(t), \end{split} \end{equation} -was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. -Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. +eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung. +Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann. +Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$. +Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$. +Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt. + +Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht. \subsection{Fazit} -Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. -Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt. +Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file |