diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/kra/anwendung.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/kra/anwendung.tex | 22 |
1 files changed, 17 insertions, 5 deletions
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6390d4f..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} +\label{kra:subsection:feder-masse-system} Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. @@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. @@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} H &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern @@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} @@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ @@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file |