diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/kra/loesung.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/kra/loesung.tex | 10 |
1 files changed, 5 insertions, 5 deletions
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 18ac853..4b1e46e 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -15,13 +15,13 @@ Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} -erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals +erkennt man, dass die Differentialgleichung separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische Differentialgleichung mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} z = \frac{1}{y - y_p}, @@ -33,7 +33,7 @@ durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert +mit Einsetzten in die Differentialgleichung \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} @@ -49,7 +49,7 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann. Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung \begin{equation} \label{kra:equation:matrix-dgl} @@ -70,7 +70,7 @@ Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ \[ P(t) = Y(t)X^{-1} \] -und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung \[ \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. \] |