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index 0000000..d111f6f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
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+% definition.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Definition
+  \label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}
+Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+\begin{align}
+x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+.
+\label{laguerre:dgl}
+\end{align}
+Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
+Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
+aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
+Potenzreihenansatz.
+Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
+Setzt man nun den Ansatz
+\begin{align*}
+y(x)
+ & =
+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+\\
+y'(x)
+ & =
+\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
+=
+\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+\\
+y''(x)
+ & =
+\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
+=
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+\end{align*}
+in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+\begin{align*}
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
++
+(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+-
+\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++
+n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+ & =
+0    \\
+\sum_{k=1}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+ & =
+0.
+\end{align*}
+Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
+\begin{align*}
+a_{k+1}
+ & =
+\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
+\end{align*}
+ableiten.
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
+$n$,
+denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
+Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
+dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+\begin{align*}
+a_1
+=
+-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
+, &  &
+a_2
+=
+\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
+, &  &
+a_3
+=
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
+\end{align*}
+und allgemein
+\begin{align*}
+k
+  & \leq
+n:
+  &
+a_k
+  & =
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
+=
+\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
+\\
+k & >n:
+  &
+a_k
+  & =
+0.
+\end{align*}
+Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
+\begin{align}
+L_n(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+\label{laguerre:polynom}
+\end{align}
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+\begin{align}
+L_n^\nu(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+\label{laguerre:allg_polynom}
+\end{align}
+
+\subsection{Analytische Fortsetzung}
+Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung mit der Form
+\begin{align*}
+\Xi_n(x)
+=
+L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+\end{align*}
+Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+erhalten wir
+\begin{align*}
+\Xi_n
+=
+L_n(x) \ln(x)
++
+\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
+(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
++
+(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
+\end{align*}
+wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
+$\forall k \in \mathbb{N}$.
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
+    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
+}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
+
+% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
+% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf