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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 93d19a3..77b2a2c 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,20 +3,22 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Eigenschaften - \label{laguerre:section:eigenschaften}} -{ -\large \color{red} -TODO: -Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -benötigt wird. -} +% \section{Eigenschaften +% \label{laguerre:section:eigenschaften}} +% { +% \large \color{red} +% TODO: +% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur +% benötigt wird. +% } -Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -\rhead{Eigenschaften} +% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften +% \rhead{Eigenschaften} -\subsection{Orthogonalität - \label{laguerre:subsection:orthogonal}} +% \subsection{Orthogonalität +% \label{laguerre:subsection:orthogonal}} +\section{Orthogonalität + \label{laguerre:section:orthogonal}} Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. @@ -113,14 +115,14 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion -$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. +Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome +orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ +mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. +Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$ +mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$. +% \subsection{Rodrigues-Formel} -\subsection{Rodrigues-Formel} - -\subsection{Drei-Terme Rekursion} - -\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} +% \subsection{Drei-Terme Rekursion} +% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} |