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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 9b901ae..4adbe86 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,24 +3,11 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -% \section{Eigenschaften -% \label{laguerre:section:eigenschaften}} -% { -% \large \color{red} -% TODO: -% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -% benötigt wird. -% } - -% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -% \rhead{Eigenschaften} - -% \subsection{Orthogonalität -% \label{laguerre:subsection:orthogonal}} \section{Orthogonalität \label{laguerre:section:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, -dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} +haben wir die Behauptung aufgestellt, +dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich @@ -40,7 +27,7 @@ und den Laguerre-Operator x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} \end{align} erhalten werden, -in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. +indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. Aus der Beziehung \begin{align} S @@ -58,7 +45,7 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p, +-(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann @@ -76,6 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann p(x) & = -C x^{\nu + 1} e^{-x} +. \end{align*} Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} @@ -117,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome -orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ -mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. +Damit können wir schlussfolgern: +Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal +bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ +mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$. Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$ mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$. - -% \subsection{Rodrigues-Formel} - -% \subsection{Drei-Terme Rekursion} - -% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} |