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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 77b2a2c..9b901ae 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -22,25 +22,25 @@ Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. -Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein -Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich -bei -den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe +Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein +Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich +bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). -Der Sturm-Liouville-Operator +Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator \begin{align} S = \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). \label{laguerre:slop} \end{align} -und der Laguerre-Operator +und den Laguerre-Operator \begin{align} \Lambda = x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} \end{align} -sind einander gleichzusetzen. +erhalten werden, +in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. Aus der Beziehung \begin{align} S @@ -66,16 +66,18 @@ Durch Separation erhalten wir dann \int \frac{dp}{p} & = -\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx += +-\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx \\ \log p & = --\log \nu + 1 - x + C +-(\nu + 1)\log x - x + c \\ p(x) & = -C x^{\nu + 1} e^{-x} \end{align*} -Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir +Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} \frac{C}{w(x)} \left( |