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diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex index a28c180..eb64fa2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -23,8 +23,8 @@ Integral der Form , \quad \text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$} -, \label{laguerre:gamma} +. \end{align} Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. @@ -72,7 +72,7 @@ allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$ neu berechnet werden, da sie per Definition von $z$ abhängen. Dazu kommt, -dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{Cassity1965AbcissasCA} +dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA} \begin{align*} A_i = @@ -85,7 +85,7 @@ A_i } \end{align*} Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen. -Somit scheint diese Methode nicht geeignet für unser Vorhaben. +Somit ist diese Methode eindeutig nicht geeignet für unser Vorhaben. Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte und Nullstellen für unterschiedliche $z$. @@ -95,10 +95,10 @@ Auch die Nullstellen können vorgängig, mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden. Als problematisch könnte sich höchstens die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen. -Somit entscheiden wir uns auf Grund der vorherigen Punkte, +Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte, die zweite Variante weiterzuverfolgen. -\subsubsection{Naiver Ansatz} +\subsubsection{Direkter Ansatz} Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich @@ -111,15 +111,16 @@ Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf} -\vspace{-12pt} -\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatzes +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \label{laguerre:fig:rel_error_simple} \end{figure} Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden, -möchten wir als erstes eine Fehlerabschätzung durchführen. +möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen. Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt. Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also @@ -130,6 +131,7 @@ Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also \\ & = (z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1} +. \end{align*} Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert \begin{align} @@ -147,17 +149,19 @@ und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert. Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$ wäre eine Fehlerabschätzung plausibel. -Wenden wir nun also naiv die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gammafunktion an. +Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion +an. Dazu benötigen wir die Gewichte nach \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$. Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}. Man kann sehen, -wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z < 2n$, +wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$, was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist, denn die Approximation via Gauss-Quadratur -ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $< 2n-1$. +ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ +und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. Es ist ersichtlich, dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt, in dem der relative Fehler minimal ist. @@ -168,9 +172,10 @@ könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen. \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf} -\vspace{-12pt} -\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatz mit Spiegelung negativer Realwerte +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \label{laguerre:fig:rel_error_mirror} \end{figure} @@ -202,8 +207,9 @@ dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln. % und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden. \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/integrand.pgf} -\vspace{-12pt} +% \input{papers/laguerre/images/integrand.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand.pdf} +%\vspace{-12pt} \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \label{laguerre:fig:integrand} \end{figure} @@ -211,7 +217,7 @@ dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln. In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt. Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$ -der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion- +der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion. Man erkennt, dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an. @@ -223,8 +229,9 @@ dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten. \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf} -\vspace{-12pt} +% \input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf} +%\vspace{-12pt} \caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \label{laguerre:fig:integrand_exp} \end{figure} @@ -246,9 +253,9 @@ Damit formulieren wir die Vermutung, dass $a(n)$, welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert, in dem der relative Fehler minimal ist, -grösser als $0$ ist. +grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist. -\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} +\subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm} % Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} % kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Interval $z \in [a,a+1]$, % in dem der relative Fehler minimal ist, @@ -287,12 +294,13 @@ s(z, m) = \begin{cases} \displaystyle -\frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\ -(z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0 +\frac{1}{(z)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\ +(z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0 \end{cases} . \end{align*} +\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$, $z^*(n) \in \mathbb{R}$, zu finden, @@ -305,9 +313,17 @@ s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1} ,\quad \text{für } \xi \in (0, \infty) -. \label{laguerre:gamma_err_shifted} +. \end{align} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf} +% %\vspace{-12pt} +\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\label{laguerre:fig:targets} +\end{figure} % wobei ist % mit $z^*(n) \in \mathbb{R}$ wollen wir finden, % in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen @@ -329,21 +345,14 @@ m^* \operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi) . \end{align*} -Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt. +Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und +hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes. Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen, was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint. -Da die Gauss-Quadratur aber sowieso nur wirklich Sinn macht für kleine $n$, +Da die Gauss-Quadratur aber sowieso +nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist, können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden. -\begin{figure} -\centering -% \includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf} -\input{papers/laguerre/images/targets.pgf} -\vspace{-12pt} -\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} -\label{laguerre:fig:targets} -\end{figure} - Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch für $n = 2,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$, da $z$ sowieso um den Term $m$ verschoben wird, @@ -369,11 +378,20 @@ Den linearen Regressor machen wir nur abhängig von $n$ in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen. +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/estimates.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/estimates.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler} +\label{laguerre:fig:schaetzung} +\end{figure} + In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta = 0.854093$. Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen. -Der optimalen Verschiebungsterm +Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit \begin{align*} m^* \approx @@ -381,61 +399,127 @@ m^* = \lceil \alpha n + \beta - z \rceil \end{align*} -kann nun mit dem linearen Regressor und $z$ gefunden werden. - -\begin{figure} -\centering -\input{papers/laguerre/images/estimates.pgf} -\vspace{-12pt} -\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler} -\label{laguerre:fig:schaetzung} -\end{figure} - -\subsection{Resultate} - -\subsubsection{Relativer Fehler} +% kann nun mit dem linearen Regressor und $z$ +gefunden werden. +\subsubsection{Evaluation des Schätzers} +In einem ersten Schritt möchten wir analysieren, +wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist. +Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$ +rund um $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$. +Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler +der Approximation dargestellt. +Man kann deutlich sehen, +dass der relative Fehler anwächst, +je weiter der Verschiebungsterm vom idealen Wert abweicht. +Zudem scheint der Schätzer den optimalen Verschiebungsterm gut zu bestimmen, +da der Schätzer zuerst der grünen Linie folgt und +dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt. \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf} -\vspace{-12pt} +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf} +%\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$. Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$. $m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm} \label{laguerre:fig:rel_error_shifted} \end{figure} - + +\subsubsection{Resultate} +Das Verfahren scheint für den Grad $n=8$ und $z \in (0,1)$ gut zu funktioneren. +Es stellt sich nun die Frage, +wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält. +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für +unterschiedliche $n$ dargestellt. +Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen, +bei für ganzzahlige $z$. +Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber, +wie zu erwarten war, +ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$. +Zudem lässt sich erkennen, +dass der Fehler abhängig von der Ordnung $n$ +des verwendeten Laguerre-Polynoms ist. +Wenn der Grad $n$ um $1$ erhöht wird, +verbessert sich die Genauigkeit des Resultats um etwa eine signifikante Stelle. + +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_complex} +ist der Betrag des relativen Fehlers in der komplexen Ebene dargestellt. +Je stärker der Imaginäranteil von $z$ von $0$ abweicht, +umso schlechter wird die Genauigkeit der Approximation. +Das erstaunt nicht weiter, +da die Gauss-Quadratur eigentlich nur für reelle Zahlen definiert ist. +Wenn der Imaginäranteil von $z$ ungefähr $0$ ist, +lässt sich das gleiche Bild beobachten wie in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}. + \begin{figure} \centering -\input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf} -\vspace{-12pt} +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf} +%\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm -für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +für verschiedene reele Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$} \label{laguerre:fig:rel_error_range} \end{figure} -\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode} -{\color{red} -$ $\newline -$n = 7$:\newline -Lanczos Polynomgrad auf 13 Stellen.\newline -Unsere Methode auf 7 Stellen -} - -% 2. Die Fehlerabschätzung ist problematisch, -% weil die Funktion R_n(\xi) unbeschränkt ist. -% Daher kann man nicht einfach nach dem Maximum von R_n(\xi) suchen. -% Man muss zunächst irgendwie das \xi unter Kontrolle bringen. -% Das scheint mir äusserst schwierig zu sein. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Absolutwert des relativen Fehlers in der komplexen Ebene} +\label{laguerre:fig:rel_error_complex} +\end{figure} -% Ich möchte daher folgendes anregen: -% Im Sinne der Formulierung des Problems, -% wie im Punkt 1 oben könnten Sie für verschiedene n -% nach den optimalen Intervallen [a(n),a(n)+1] suchen, -% und versuchen, einen empirischen Zusammenhang (Faustregel) -% zwischen n und a(n) zu formulieren. -% Das ist etwa gleich gut, -% da ja der Witz der Gauss-Integration ist, -% dass man eben nur sehr kleine n überhaupt in Betracht zieht, -% d.h. man braucht keine exakte Gesetzmässigkeit für a(n). +\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Nun stellt sich die Frage, +wie das in diesem Abschnitt beschriebene Approximationsverfahren +der Gamma-Funktion sich gegenüber den üblichen Approximationsverfahren schlägt. +Eine häufig verwendete Methode ist die Lanczos-Approximation, +welche gegeben ist durch +\begin{align} +\Gamma(z + 1) +\approx +\sqrt{2\pi} \left( z + \sigma + \frac{1}{2} \right)^{z + 1/2} +e^{-(z + \sigma + 1/2)} \sum_{k=0}^n g_k H_k(z) +, +\end{align} +wobei +\begin{align*} +g_k = \frac{e^\sigma \varepsilon_k (-1)^k}{\sqrt{2\pi}} +\sum_{r=0}^k (-1)^r \, \binom{k}{r} \, (k)_r +\left( \frac{e}{r + \sigma + \frac{1}{2}}\right)^{r + 1/2} +, +\end{align*} +\begin{align*} +\varepsilon_k += +\begin{cases} +1 & \text{für } k = 0 \\ +2 & \text{sonst} +\end{cases} +\quad \text{und}\quad +H_k(z) += +\frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k} +\end{align*} +mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}). +Diese Methode wurde zum Beispiel in +{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und +{\em musl} implementiert. +Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$ +korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente. +Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ +eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen +für reele Argumente. +Das Resultat ist etwas enttäuschend, +aber nicht unerwartet, +da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und +unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist. +Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht, +ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender, +weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen, +wenigen Multiplikationen und Additionen besteht. +Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung +und/oder knappen Energieressourcen finden.
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