diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/lambertw/teil0.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/lambertw/teil0.tex | 15 |
1 files changed, 9 insertions, 6 deletions
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex index 5007867..8fa8f9b 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex @@ -6,15 +6,14 @@ \section{Was sind Verfolgungskurven? \label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}} \rhead{Was sind Verfolgungskurven?} - +% Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie "Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?". Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen. Der Pfad, den der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als Differentialgleichung formuliert werden. Diese Differentialgleichung entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. - - +% \subsection{Verfolger und Verfolgungsstrategie \label{lambertw:subsection:Verfolger}} Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. @@ -48,7 +47,7 @@ Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um % \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.1]{./papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png} + \includegraphics[scale=0.6]{./papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf} \caption{Vektordarstellung Jagdstrategie} \label{lambertw:grafic:pursuerDGL2} \end{figure} @@ -61,23 +60,27 @@ In der Abbildung \ref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt, wobei $v$ der Ortsvektor des Verfolgers, $z$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{v}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. Der Geschwindigkeitsvektor entspricht dem Richtungsvektors des Verfolgers. Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung +% \begin{equation} |\dot{v}| = \operatorname{const} = A \text{,}\quad A\in\mathbb{R}^+ \end{equation} +% darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor kann mit der Gleichung +% \begin{equation} \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}| = \dot{v} \end{equation} +% beschrieben werden, wenn die Jagdstrategie verwendet wird. Die Differenz der Ortsvektoren $v$ und $z$ ist ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt. Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division durch den Betrag, ein Einheitsvektor erzeugt. Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. - +% Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergeben sich \begin{align} \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v} @@ -97,7 +100,7 @@ Als nächstes gehen wir auf das Ziel ein. Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halten, welche von Anfang an bekannt ist. Diese Strategie kann als Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden. Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung - +% \begin{equation} z(t) = |