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diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0de3001 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py new file mode 100644 index 0000000..b9b41bf --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py @@ -0,0 +1,52 @@ +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Fri Jul 29 09:40:11 2022 + +@author: yanik +""" +import pylatex + +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +N = np.array([0, 0]) +V = np.array([1, 4]) +Z = np.array([5, 5]) +VZ = Z-V +vzScale = 0.4 + + +a = [N, N, V] +b = [V, Z, vzScale*VZ] + +X = np.array([i[0] for i in a]) +Y = np.array([i[1] for i in a]) +U = np.array([i[0] for i in b]) +W = np.array([i[1] for i in b]) + +xlim = 6 +ylim = 6 +fig, ax = plt.subplots(1,1) +ax.set_xlim([0, xlim]) #<-- set the x axis limits +ax.set_ylim([0, ylim]) 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transform="translate(45.618665 89.520101)scale(0.1 -0.1)"> + <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-53"/> + </g> + </g> + </g> + <g id="ytick_7"> + <g id="line2d_14"> + <g> + <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="41.472"/> + </g> + </g> + <g id="text_14"> + <!-- $\mathdefault{6}$ --> + <g transform="translate(45.618665 45.168101)scale(0.1 -0.1)"> + <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-54"/> + </g> + </g> + </g> + </g> + <g id="line2d_15"> + <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 117.12 130.176 +L 355.2 85.824 +" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-dasharray:5.55,2.4;stroke-dashoffset:0;stroke-width:1.5;"/> + </g> + <g id="line2d_16"> + <defs> + <path d="M 0 5 +C 1.326016 5 2.597899 4.473168 3.535534 3.535534 +C 4.473168 2.597899 5 1.326016 5 0 +C 5 -1.326016 4.473168 -2.597899 3.535534 -3.535534 +C 2.597899 -4.473168 1.326016 -5 0 -5 +C -1.326016 -5 -2.597899 -4.473168 -3.535534 -3.535534 +C -4.473168 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100644 --- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f41dffe --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png diff --git a/buch/papers/lambertw/main.log b/buch/papers/lambertw/main.log index 4b0af4d..754563d 100644 --- a/buch/papers/lambertw/main.log +++ b/buch/papers/lambertw/main.log @@ -1,14 +1,12 @@ -This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (TeX Live 2021/W32TeX) (preloaded format=pdflatex 2021.11.16) 15 MAR 2022 13:23 +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 20 JUL 2022 18:38 entering extended mode - restricted \write18 enabled. - %&-line parsing enabled. -**main.tex -(./main.tex -LaTeX2e <2021-11-15> -L3 programming layer <2021-11-12> +**./main.tex +(main.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> ! Undefined control sequence. l.6 \chapter - {Thema\label{chapter:lambertw}} + {Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} The control sequence at the end of the top line of your error message was never \def'ed. If you have misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct @@ -22,16 +20,28 @@ See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. Type H <return> for immediate help. ... -l.6 \chapter{T - hema\label{chapter:lambertw}} +l.6 \chapter{V + erfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. If that doesn't work, type X <return> to quit. -Missing character: There is no T in font nullfont! -Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! ! Undefined control sequence. l.7 \lhead {Thema} @@ -61,666 +71,46 @@ or <return> to continue without it. ! Undefined control sequence. l.9 \chapterauthor - {Hans Muster} + {David Hugentobler und Yanik Kuster} The control sequence at the end of the top line of your error message was never \def'ed. If you have misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, and I'll forget about whatever was undefined. -Missing character: There is no H in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no M in font nullfont! -Missing character: There is no u in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! - -Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 -[][] - [] - - -! LaTeX Error: Missing \begin{document}. - -See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. -Type H <return> for immediate help. - ... - -l.11 E - in paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. -If that doesn't work, type X <return> to quit. - -Missing character: There is no E in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no p in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no H in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no w in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no f in font nullfont! -LaTeX Font Info: Trying to load font information for +cmr on input line 11. -LaTeX Font Info: No file cmr.fd. on input line 11. - -LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined -(Font) using `/cmr/m/n' instead on input line 11. - -! Corrupted NFSS tables. -wrong@fontshape ...message {Corrupted NFSS tables} - error@fontshape else let f... -l.11 Ein paar Hinweise fü - r die korrekte Formatierung des Textes -This error message was generated by an \errmessage -command, so I can't give any explicit help. -Pretend that you're Hercule Poirot: Examine all clues, -and deduce the truth by order and method. - - -LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined -(Font) using `OT1/cmr/m/n' instead on input line 11. - -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no k in font nullfont! -Missing character: There is no o in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no k in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no F in font nullfont! -Missing character: There is no o in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no u in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no T in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no x in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! - -Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 11--12 -[] - [] - - -Overfull \hbox (10.55559pt too wide) in paragraph at lines 11--12 -\/cmr/m/n/10 ^^?u - [] - -Missing character: There is no A in font nullfont! -Missing character: There is no b in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no z in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no w in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no b in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no l in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no , in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no L in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no z in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no l in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no f in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no . in font nullfont! 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Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no . in font nullfont! - -Overfull \hbox (5.55557pt too wide) in paragraph at lines 26--28 -\/cmr/m/n/10 ^^?u - [] - -Overfull \hbox (7.50002pt too wide) in paragraph at lines 26--28 -[]\/cmr/m/n/10 U +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 +[][] [] @@ -734,16 +124,16 @@ Enter file name: <read *> l.30 \input{papers/lambertw/teil0.tex} - ^^M + *** (cannot \read from terminal in nonstop modes) Here is how much of TeX's memory you used: - 36 strings out of 478371 - 593 string characters out of 5852527 - 296836 words of memory out of 5000000 - 18242 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 403598 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 + 22 strings out of 478927 + 609 string characters out of 2852535 + 290175 words of memory out of 3000000 + 17980 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403430 words of font info for 27 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 23i,1n,32p,120b,183s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s + 16i,0n,26p,94b,28s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s ! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/main.tex b/buch/papers/lambertw/main.tex index 68b7a5d..394963f 100644 --- a/buch/papers/lambertw/main.tex +++ b/buch/papers/lambertw/main.tex @@ -4,34 +4,34 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} -\lhead{Thema} +\lhead{Verfolgungskurven} \begin{refsection} \chapterauthor{David Hugentobler und Yanik Kuster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - +% +%Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +%\begin{itemize} +%\item +%Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. +%Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +%\item +%Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende +%Optionen werden gelöscht. +%Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +%\item +%Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. +%Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen +%in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt +%anzuwenden. +%\item +%Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren +%Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +%\end{itemize} +% \input{papers/lambertw/teil0.tex} -%\input{papers/lambertw/teil1.tex} %\input{papers/lambertw/teil2.tex} %\input{papers/lambertw/teil3.tex} \input{papers/lambertw/teil4.tex} - +\input{papers/lambertw/teil1.tex} +% \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex index 73fe187..8fa8f9b 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex @@ -4,99 +4,112 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Was sind Verfolgungskurven? -\label{lambertw:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} - -Verfolgungskurven tauchen oft auf bei fragen wie, welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt. Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. Der Verfolger versucht sein Ziel zu ergattern und das Ziel versucht zu entkommen. Der Pfad, der der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als DGL formuliert werden. Diese DGL entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. - - +\label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}} +\rhead{Was sind Verfolgungskurven?} +% +Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie "Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?". +Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. +Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen. +Der Pfad, den der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. +Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als Differentialgleichung formuliert werden. +Diese Differentialgleichung entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. +% \subsection{Verfolger und Verfolgungsstrategie \label{lambertw:subsection:Verfolger}} -Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. Wir nehmen an, dass sich der Verfolger stur an eine Verfolgungsstrategie hält. Dabei gibt es viele mögliche Strategien, die der Verfolger wählen könnte. Die möglichen Strategien entstehen durch Festlegung einzelner Parameter, die der Verfolger kontrollieren kann. Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor. Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren. Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei. Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben. - +Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. +Wir nehmen an, dass sich der Verfolger stur an eine Verfolgungsstrategie hält. +Dabei gibt es viele mögliche Strategien, die der Verfolger wählen könnte. +Die möglichen Strategien entstehen durch Festlegung einzelner Parameter, die der Verfolger kontrollieren kann. +Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor. +Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren. +Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei. +Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben. +% \begin{table} \centering \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline - \text{}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\ + \text{Strategie}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\ \hline - \text{Strategie 1} + \text{Jagd} & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ - \text{Strategie 2} + \text{Beschattung} & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ - \text{Strategie 3} + \text{Vorhalt} & \text{konstant} & \text{-} & \text{etwas voraus Zielen}\\ \hline \end{tabular} \caption{mögliche Verfolgungsstrategien} - \label{lambertw:Strategien} + \label{lambertw:table:Strategien} \end{table} - - - - -%\begin{figure} -% \centering -% \includegraphics{.\papers\lambertw\Bilder\pursuerDGL2.pdf} -% \label{pursuer:pursuerDGL2} -%\end{figure} - -In der Tabelle \eqref{lambertw:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt. -Folgend wird nur noch auf die Strategie 1 eingegangen. -Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel hinzu. -In der Grafik \eqref{lambertw:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt. -Wobei $\overrightarrow{V}$ der Ortsvektor des Verfolgers, $\overrightarrow{Z}$ der Ortsvektor des Ziels und $\overrightarrow{\dot{V}}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. +% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.6]{./papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf} + \caption{Vektordarstellung Jagdstrategie} + \label{lambertw:grafic:pursuerDGL2} +\end{figure} +% +In der Tabelle \ref{lambertw:table:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt. +Im Folgenden wird nur noch auf die Jagdstrategie eingegangen. +Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel zu. +Der Verfolger und sein Ziel werden als Punkte $V$ und $Z$ modelliert. +In der Abbildung \ref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt, +wobei $v$ der Ortsvektor des Verfolgers, $z$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{v}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. +Der Geschwindigkeitsvektor entspricht dem Richtungsvektors des Verfolgers. Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung +% \begin{equation} - |\overrightarrow{\dot{V}}| - = konst = A - \quad|A\in\mathbb{R}>0 + |\dot{v}| + = \operatorname{const} = A + \text{,}\quad A\in\mathbb{R}^+ \end{equation} -darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor wiederum kann mit der Gleichung +% +darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor kann mit der Gleichung +% \begin{equation} - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot|\overrightarrow{\dot{V}}| + \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}| = - \overrightarrow{\dot{V}} + \dot{v} \end{equation} -beschrieben werden. -Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{V}$ und $\overrightarrow{Z}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt. -Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt. +% +beschrieben werden, wenn die Jagdstrategie verwendet wird. +Die Differenz der Ortsvektoren $v$ und $z$ ist ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt. +Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division durch den Betrag, ein Einheitsvektor erzeugt. Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. -Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. +% +Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergeben sich \begin{align} - \label{pursuer:pursuerDGL} - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot - \overrightarrow{\dot{V}} + \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v} &= - |\overrightarrow{\dot{V}}|^2 + |\dot{v}|^2 \\ - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot \frac{\overrightarrow{\dot{V}}}{|\overrightarrow{\dot{V}}|} + \label{lambertw:pursuerDGL} + \frac{z-v}{|z-v|}\cdot \frac{\dot{v}}{|\dot{v}|} &= - 1 + 1 \text{.} \end{align} -Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern der Verfolger die Strategie 1 verwendet. - - +Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, insofern der Verfolger die Jagdstrategie verwendet. +% \subsection{Ziel \label{lambertw:subsection:Ziel}} Als nächstes gehen wir auf das Ziel ein. Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halten, welche von Anfang an bekannt ist. Diese Strategie kann als Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden. Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung +% \begin{equation} - \vec{r}(t) + z(t) = - \begin{Bmatrix} - 0\\ - t - \end{Bmatrix} + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) \end{equation} +% beschrieben werden könnte. Mit dieser Gleichung ist das Ziel auch schon vollumfänglich definiert. -Die Fluchtkurve kann eine beliebige Form haben, jedoch wird die zu lösende DGL immer komplexer. +Für die Fluchtkurve kann eine beliebige Form gewählt werden, jedoch wird die zu lösende Differentialgleichung für die Verfolgungskurve komplexer. diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex index cc4a62a..2733759 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex @@ -3,160 +3,210 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Ziel -\label{lambertw:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} - - - -%\begin{figure}[H] -% \centering -% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{.\Bilder\something.pdf} -% \label{pursuer:grafik1} -%\end{figure} - - - -Je nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine andere DGL. -Für dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Strategie gewählt. -Bei dieser Strategie bewegt sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel hinzu. -Womit der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers zu jeder Zeit direkt auf das Ziel zeigt. - -Um die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer:grafik1} aufgezeigt. -Der Punkt $P$ ist der Verfolger und der Punkt $A$ ist sein Ziel. - -Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor +\section{Wird das Ziel erreicht? +\label{lambertw:section:Wird_das_Ziel_erreicht}} +\rhead{Wird das Ziel erreicht?} +% +Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird. +Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird. +Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird. +Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und am Beispiel aus \ref{lambertw:section:teil4} betrachtet. +Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden. + +Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird. +Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen. +Somit gilt es +% +\begin{equation*} + z(t_1)=v(t_1) +\end{equation*} +% +zu lösen. +Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als \begin{equation} - \frac{A-P}{|A-P|} + z(t) = - \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|} + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)\text{.} \end{equation} -benötigt. Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OA}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $P$ auf $A$ zeigt. -Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt. -Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $A$ und $P$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. -Wenn die Punkte $A$ und $P$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. - -Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. +% +Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die obige Bedingung jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert. +% +\subsection{Anfangsbedingung im \RN{1}-Quadranten} +% +Wenn der Verfolger im \RN{1}-Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche +\begin{align*} + x\left(t\right) + &= + x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\ + y(t) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\ + \chi + &= + \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad + \eta + = + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad + r_0 + = + \sqrt{x_0^2+y_0^2} +\end{align*} +% +Der Folger ist durch \begin{equation} - \label{pursuer:pursuerDGL} - \frac{A-P}{|A-P|}\cdot \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|} + v(t) = - 1 + \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) + \text{.} \end{equation} -Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel zubewegt. - - -\subsection{Beispiel} -Das Verfolgungsproblem wird mithilfe eines konkreten Beispiels veranschaulicht. Dafür wird die einfachste Strategie verwendet, bei der sich der Verfolger direkt auf sein Ziel hinzu bewegt. Für dieses Problem wurde bereits die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} hergeleitet. - -Um dieses Beispiel einfach zu halten, wird für den Verfolger und das Ziel jeweils eine konstante Geschwindigkeit von eins gewählt. Das Ziel wiederum startet im Ursprung und bewegt sich linear auf der positiven Y-Achse. - -\begin{align} - v_P^2 +% +parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$. +Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher folgende Bedingungen +% +\begin{align*} + 0 &= - \dot{P}\cdot\dot{P} + x(t) = - 1 - \\[5pt] - v_A - &= - 1 - \\[5pt] - A + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} + \\ + t &= - \begin{pmatrix} - 0 \\ - v_A\cdot t - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 \\ - t - \end{pmatrix} - \\[5pt] - P - &= - \begin{pmatrix} - x \\ - y - \end{pmatrix} -\end{align} - -Die Anfangsbedingungen dieses Problems sind. - -\begin{align} - y(t)\bigg|_{t=0} - &= - y_0 - \\[5pt] - x(t)\bigg|_{t=0} - &= - x_0 \\[5pt] - \frac{\,dy}{\,dx}(t)\bigg|_{t=0} - &= - \frac{y_A(t) -y_P(t)}{x_A(t)-x_P(t)}\bigg|_{t=0} -\end{align} - -Mit den vorangegangenen Definitionen kann nun die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} gelöst werden. -Dafür wird als erstes das Skalarprodukt ausgerechnet. - + y(t) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,} +\end{align*} +% +welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde. +Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet. +Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ mit \begin{equation} - \dfrac{-x\cdot\dot{x}+(t-y)\cdot\dot{y}}{\sqrt{x^2+(t-y)^2}} = 1 + 0 + = + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} \end{equation} - - - - - - - - - - -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt +ist diese Bedingung genau dann erfüllt, wenn \begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{lambertw:equation1} + 0 + = + W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) + \text{.} +\end{equation} +% +Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +\begin{equation} + W(0)=0 +\end{equation} +% +Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre. +Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +% +% +%Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt +%\begin{equation} +% 0 +% = +% W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) +% \text{.} +%5\end{equation} +% +%Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +%Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +% +%\begin{equation*} +% W(0)=0 +%\end{equation*} +% +%besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu +% +%\begin{equation} +% 0 +% = +% \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) +% \text{.} +%\end{equation} +% +%Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +%Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +%Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre. +%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +\subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$} +Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolgers niemals das Ziel einholen. +Dies kann veranschaulicht werden anhand +% +\begin{equation} + v(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + \leq + z(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + = + 1\text{.} +\end{equation} +% +Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen. +% +\subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse} +Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels. +Dies führt dazu, dass der Verfolger und das Ziel sich direkt aufeinander zu bewegen, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt. +Die Folge ist, dass das Ziel zwingend erreicht wird. +Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit +% +\begin{equation} + v(t) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ y_0-t \end{array} \right) +\end{equation} +% +parametrisiert werden. +Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden. +Woraus folgt +% +\begin{equation} + 0 + = + |v(t_1)-z(t_1)| + = + y_0-2t_1\text{,} +\end{equation} +% +was aufgelöst zu +% +\begin{equation} + t_1 + = + \frac{y_0}{2} +\end{equation} +% +führt. +Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet. +\subsection{Fazit} +Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen in den Quadranten \RN{1} und \RN{2} zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt. +Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen. +Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden. +Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann. +Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius. +Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert. +Mathematisch kann dies mit +% +\begin{equation} + |v-z|<a_{min} \text{,}\quad a_{min}\in\mathbb{R}^+ \end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +% +beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht. +Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit +% +\begin{equation} + |v-z|^2<a_{min}^2 \text{,}\quad a_{min}\in \mathbb{R}^+ +\end{equation} +% +die neue Bedingung ist. +Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert. -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{lambertw:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{lambertw:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{lambertw:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex index 6184369..c79aa0c 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex @@ -3,156 +3,209 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Beispiel Verfolgungskurve +\section{Beispiel einer Verfolgungskurve \label{lambertw:section:teil4}} -\rhead{Beispiel Verfolgungskurve} -In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. +\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve} +In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden. -Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadrant und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden: +\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen + \label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}} +Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden: \begin{equation} - \overrightarrow{Z} + Z = \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) - ; - \overrightarrow{V} + ,\: + V = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) - \label{lambertw:Anfangspunkte} + \:\text{und}\:\: + \bigl| \dot{V} \bigl| + = + 1. + \label{lambertw:Anfangsbed} \end{equation} -Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve \eqref{lambertw:pursuerDGL} einfügt ergibt sich folgender Ausdruck: +Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt. +Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich folgender Ausdruck: \begin{equation} \frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}} - \circ + \cdot \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right) = - 1 - \label{lambertw:eqMitAnfangspunkte} + 1. + \label{lambertw:eqMitAnfangsbed} \end{equation} -Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL: -\[ - \left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right) - \circ - \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right) - = \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\ -\] + +\subsection{Differentialgleichung vereinfachen + \label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}} +Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden. + +Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen würden, werden wir uns hier nur die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können. + +\subsubsection{Skalarprodukt auflösen + \label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}} +Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine. Dies führt zu: \begin{equation} -x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y} - = \sqrt{x^2 + (t-y)^2} - \label{lambertw:eq1BspVerfolgKurve} -\end{equation} -Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus. -\begin{align*} - ((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2 - &= x^2 + (t-y)^2 \\ - x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y} - &= x^2 + (t-y)^2 \\ - \dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2 - &= 0 \\ - (\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2 - &= 0 -\end{align*} -Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert: -\[ - \underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2 - = 0 -\] -\begin{align*} - - \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2 - &= 0 \\ - \dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2 - &= 0 -\end{align*} -Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht: -\begin{align*} - x^2 \dot{y}^2 + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x} + (t-y)^2 \dot{x}^2 - &= 0 \\ + = \sqrt{x^2 + (t-y)^2}. + \label{lambertw:eqOhneSkalarprod} +\end{equation} +Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\) und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist. + +\subsubsection{Quadrieren und Gruppieren + \label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}} +Mit der Quadratwurzel in \ref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf folgende Form gebracht werden: +\begin{equation} + \left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2 + =0. + \label{lambertw:eqOhneWurzel} +\end{equation} +Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen. + +\subsubsection{Wichtige Substitution + \label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}} +Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann kann man folgende Gleichung aufstellen: +\begin{equation} + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + = 1. + \label{lambertw:eqGeschwSubst} +\end{equation} +Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Ersetzt führen sie zu folgendem Ausdruck: +\begin{equation} + \dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2 + =0. + \label{lambertw:eqGeschwSubstituiert} +\end{equation} +Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchgeführt werden können. + +\subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen + \label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}} +Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, welche zu folgender Gleichung führt: +\begin{equation} (x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2 - &= 0 -\end{align*} -Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eq1BspVerfolgKurve} eine wesentlich einfachere DGL: + = 0. + \label{lambertw:eqAlgVerinfacht} +\end{equation} +Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL führt: \begin{equation} x \dot{y} + (t-y) \dot{x} - = 0 - \label{lambertw:equation5} + = 0. + \label{lambertw:eqGanzVerinfacht} \end{equation} -Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht. -\[ +Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen. + +\subsection{Zeitabhängigkeit loswerden + \label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}} +Der nächste logischer Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können. + +\subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden + \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}} +Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\), ist es die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist: +\begin{equation} x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}} - = 0 -\] -Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL: + = 0. + \label{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} +\end{equation} +Der Grund dafür ist, dass +\begin{equation} + \frac{\displaystyle\dot{y}}{\displaystyle\dot{x}} + = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} + = \frac{dy}{dx} + = y^{\prime}, + \label{lambertw:eqQuotZeitAbleit} +\end{equation} +und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden. +Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung \begin{equation} x y^{\prime} + t - y - = 0 + = 0. \label{lambertw:DGLmitT} \end{equation} -Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus Analysis 2 zurückgreifen: + +\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren + \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}} +Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen, muss man auf die Definition der Bogenlänge zurückgreifen. +Die Strecke \(s\) entspricht \begin{equation} s = v \cdot t = + 1 \cdot t + = t = - \int_{x_0}^{x_{end}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx + \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx. \label{lambertw:eqZuBogenlaenge} \end{equation} -Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck: + +Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. + +Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck: \begin{equation} x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y - = 0 + = 0. \label{lambertw:DGLohneT} \end{equation} -Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab: -\begin{align*} +Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL zweiter Ordnung \eqref{lambertw:DGLohneInt}: +\begin{align} y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime} - &= 0 \\ + &= 0, \\ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - &= 0 -\end{align*} -Mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) kann vorherige DGL in eine erster Ordnung umgewandelt werden: -\begin{equation*} + &= 0. + \label{lambertw:DGLohneInt} +\end{align} +Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist. + +\subsection{Differentialgleichung lösen + \label{lambertw:subsection:DGLloes}} +Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden: +\begin{equation} xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2} - = 0 + = 0. \label{lambertw:DGLmitU} -\end{equation*} -Welche mittels Separation gelöst werden kann: -\begin{align*} - arsinh(u) + C_L - &= - ln(x) + C_R \\ - arsinh(u) +\end{equation} +Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form +\begin{equation} + \int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du} + = + \int{\frac{1}{x}\:dx}, +\end{equation} +lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen. +Mit dem Ergebnis: +\begin{align} + \operatorname{arsinh}(u) &= - ln(x) + C \\ + \operatorname{ln}(x) + C, \\ u &= - sinh(ln(x) + C) -\end{align*} -In dem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist: + \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C). + \label{lambertw:loesDGLmitU} +\end{align} +Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man folgende DGL erster Ordnung, die bereits separiert ist: \begin{equation} y^{\prime} = - sinh(ln(x) + C) + \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C). + \label{lambertw:loesDGLmitY} \end{equation} -Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(sinh\)-Funktion: -\begin{align*} +Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) mit seiner exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art folgende Lösung für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}: +\begin{equation} y - &= - \int sinh(ln(x) + C) \\ - &= - \int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\ - &= - \frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\ - &= - C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2} -\end{align*} + = + C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}. +\end{equation} +Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen. + +\subsection{Lösung analysieren + \label{lambertw:subsection:LoesAnalys}} \begin{figure} \centering \includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png} - \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht. + \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht. \label{lambertw:BildFunkLoes} } \end{figure} @@ -161,92 +214,210 @@ Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} w \begin{equation} {\color{red}{y(x)}} = - C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2} + C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}. \label{lambertw:funkLoes} \end{equation} -Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden: +Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden: \begin{itemize} \item - Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. + Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant. + \item + Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\) aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen. \item - Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht. + Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht. \item - Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen. + Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? + Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum. \end{itemize} -Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht: +Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. + +\subsection{Anfangswertproblem + \label{lambertw:subsection:AllgLoes}} +In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe erfordert ein Anfangswertproblem. + +Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen. + +\subsubsection{Anfangswerte bestimmen + \label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}} +Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} zu definieren. +Die Anfangswerte sind: \begin{equation} y(x)\big \vert_{t=0} = y(x_0) = y_0 - \:;\: + \label{lambertw:eq1Anfangswert} +\end{equation} +und +\begin{equation} \frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0} = y^{\prime}(x_0) = - \frac{y_0}{x_0} + \frac{y_0}{x_0}. + \label{lambertw:eq2Anfangswert} \end{equation} -Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem: +Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\). + +\subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen + \label{lambertw:subsubsection:GlSys}} +Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem: \begin{subequations} \begin{align} y_0 &= - C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\ + C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\ \frac{y_0}{x_0} &= - 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} + 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}. + \end{align} + \label{lambertw:eqGleichungssystem} +\end{subequations} +Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen des Gleichungssystems gewählt, welche wie folgt aussehen: +\begin{subequations} + \begin{align} + \label{lambertw:eqKoeff1} + C_1 + &= + \frac{2\cdot\operatorname{ln}(x_0)\left(\sqrt{x_0^2 + y_0^2} - y_0 \right) - \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + 3 y_0}{4}, \\ + \label{lambertw:eqKoeff2} + C_2 + &= + \frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}. \end{align} \end{subequations} -... Mit folgenden Formeln geht es weiter: -\begin{align*} +\subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen + \label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}} +Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich nach dem Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion: +\begin{equation} + y(x) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right). + \label{lambertw:eqAllgLoes} +\end{equation} +Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert: +\begin{equation} \eta - &= - \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 - \:;\: + = + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 + \:\:\text{und}\:\: r_0 = - \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\ - y - &= - \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\ - y^\prime - &= - \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\ + \sqrt{x_0^2+y_0^2}. +\end{equation} +Diese neue allgemeine Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorher hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf. Sie enthält einerseits einen quadratischen Teil, der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird. + +Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Wir können aber einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen. + +\subsection{Funktion nach der Zeit + \label{lambertw:subsection:FunkNachT}} +In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde. + +\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen + \label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}} +Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird: +\begin{equation} + x y^{\prime} + t - y + = 0. + \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} +\end{equation} +Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind: +\begin{subequations} + \begin{align} + y + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\ + \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1} + y^\prime + &= + \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right). + \end{align} + \label{lambertw:eqFunkUndAbleit} +\end{subequations} + +Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck: +\begin{equation} -4t - &= - \left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\ + = + \left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right). + \label{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} +\end{equation} + +\subsubsection{Umformungen die zur Funktion nach der Zeit führen + \label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}} +Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden. + + +In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht: +\begin{align} -4t+\left(y_0+r_0\right) &= - \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\ - e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)} - &= - e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\ - e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}} + \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right), \\ + e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)} &= - e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\ \\ + e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}. + \label{lambertw:eqMitExp} +\end{align} +Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. + +Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren: +\begin{equation} + \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right) + = + \eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right). + \label{lambertw:eqOhnePotenz} +\end{equation} +Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden: +\begin{equation} \chi - &= - \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\ - \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}} - &= - \chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\ - W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right) - &= - \chi\eta \\ - \frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi} - &= - \eta \\ - \frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi} - &= - \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \\ - x\left(t\right) - &= - \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} -\end{align*} + = + \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}. + \label{lambertw:eqChiSubst} +\end{equation} +Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B. +\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] +die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung: +\begin{equation} + \chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) + = + \chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}. + \label{lambertw:eqNachSubst} +\end{equation} +Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck: +\begin{equation} + W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) + = + \chi\eta. +\end{equation} +Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen: +\begin{subequations} + \begin{align} + \label{lambertw:eqFunkXNachT} + x(t) + &= + x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}{\chi}}, \\ + \label{lambertw:eqFunkYNachT} + y(x(t)) + = + y(t) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right). + \end{align} + \label{lambertw:eqFunktionenNachT} +\end{subequations} +Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren. + +\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion + \label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}} +Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, dass man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird. +Nun, der Grund dafür ist die Struktur \begin{equation} - y(t) + y = - \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}+\left(r_0-y_0\right)\cdot\mathrm{ln}\ \left(\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}\right)-r_0+3y_0\right) - \label{lambertw:funkNachT} + p(x) +\operatorname{ln}(x), + \label{lambertw:eqEinsatzLambW} \end{equation} +bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. + +Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
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