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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex index 8025830..c4b2d05 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex @@ -34,33 +34,32 @@ Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb % \subsection{Anfangsbedingung im ersten Quadranten} % -Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche sind +Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche \begin{align} x\left(t\right) &= - x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\ + x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \text{,}\\ y(t) &= - \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr)\\ + \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr) \text{,}\\ \chi &= - \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad + \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\text{,} \quad \eta = - \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \quad\text{und}\quad r_0 = \sqrt{x_0^2+y_0^2} - \text{,} \end{align} % +sind, beschrieben werden. Der Verfolger ist durch \begin{equation} v(t) = \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) - \text{.} \end{equation} % parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$. @@ -238,14 +237,15 @@ Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit \begin{align} v &= - t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) + t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ 0 \end{array}\right) \\ z &= \left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right) \end{align} beschrieben werden. -Da der Abstand +$x_0$ ist der Abstand bei $t=0$, damit alle möglichen Fälle untersucht werden können. +Da der Abstand allgemein \begin{equation} a = @@ -266,7 +266,7 @@ Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist \begin{equation} \frac{d a^2}{d t} = - 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2 + 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2 \text{.} \end{equation} Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in |