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Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. -Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. -Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} - +Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -27,7 +27,7 @@ Geographische Länge bestimmen \subsection{Ausgangslage} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm} -Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben. Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: \[ \text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. @@ -125,17 +125,17 @@ RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: \begin{align*} a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ - &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\ &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \end{align*} Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \begin{align*} \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \\ \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \end{align*} @@ -145,13 +145,13 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \vspace*{-4mm} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm}% -Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. \begin{align*} -h_b&=90^\circ - h_b +h_B&=90^\circ - pbb = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \\ - h_c &= 90^\circ - h_c + h_C &= 90^\circ - pc = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \end{align*} @@ -160,12 +160,12 @@ h_b&=90^\circ - h_b \raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% } \begin{align*} -\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \\ -\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \end{align*} @@ -178,15 +178,15 @@ Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} -Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen: \begin{align*} l &= -\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) - + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B) + + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\ &= -\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ -&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\ +&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\ &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \end{align*} \end{minipage}% @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ - &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} @@ -216,11 +216,11 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. \subsection{Fazit} -Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. Allerdings gab es zwei interessante Probleme. -Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. -Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. @@ -228,7 +228,7 @@ Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. -Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. +Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. |