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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3bf9257..eb1a152 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, -welcher zeitunabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil \begin{equation} - \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}), \end{equation} - +welcher zeitunabhängig ist. %\subsection{Laplace Gleichung} %Die partielle Differentialgleichung %\begin{equation} @@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist \label{parzyl:subsection:finibus}} Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. -Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch \begin{align} x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} @@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten -kann im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem als \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 @@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird. % + % \frac{\partial^2}{\partial z^2}. %\end{equation} -Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung \begin{equation} \Delta f(\sigma, \tau, z) = @@ -245,8 +244,9 @@ und = 0 \end{equation} -führt. - +führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch +als Webersche Differentialgleichungen bekannt. |