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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1b59ed9..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,102 +3,152 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Eigenschaften -\label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Eigenschaften} -\subsection{Potenzreihenentwicklung - \label{parzyl:potenz}} -%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, -%können auch als Potenzreihen geschrieben werden -Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. -Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen -$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen -\begin{align} - w_1(\alpha,x) - &= - e^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - e^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - 1 - + - \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} - + - \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -und -\begin{align} - w_2(\alpha,x) - &= - xe^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - xe^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - x - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -sind. -Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. -Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden -und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. -Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls +\section{Anwendung in der Physik + \label{parzyl:section:teil2}} +\rhead{Anwendung in der Physik} + +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} +\end{figure} + +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} - \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} -und bei $w_2(\alpha,x)$ falls +gelten. +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. +\end{equation} +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden: +\begin{equation} + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} + + +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} - \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + F(s) + = + \sqrt{s} + = + \sqrt{x + iy}. \end{equation} -Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. -Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt -$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. -\subsection{Ableitung} -Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ -können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt -\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. -Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), -\end{equation} -und + F(s) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} + + +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als %\begin{equation} -% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} %\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( - x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) - {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - \right) +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. +Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
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